Chủ đề này có 2 trả lời

[honglien]

mọi người cùng làm ạ

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglien: 21-11-2017 - 11:59

[TrucCumgarDaklak]

Thật không thể tin được, đề chọn đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh mà đề câu bất đẳng thức lại mắc phải một sai sót không đáng có.

Đề đúng phải là: Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum a^{2}=3$. Chứng minh: $\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \frac{3}{3-ab}\leq \frac{9}{2}$

Thật vậy, ta có:

$\frac{3}{3-ab}=1+\frac{ab}{3-ab}=1+\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}+\left ( a-b \right )^{2}}\leq 1+\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq1+ \frac{2\frac{\left ( a+b \right )2}{4}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}=1+\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{2\left ( a^{2}+b^{2}+2c^{2} \right )}$

Vậy, cần chứng minh: $\sum \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq 3$

Theo bất đẳng thức $Cauchy Schwarz$ dạng $Engel$ ta có:

$\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}=\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( a^{2}+c^{2} \right )+\left ( b^{2}+c^{2} \right )}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}}$

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế ta được điều cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 20-11-2017 - 21:04

[MarkGot7]

Chỗ mình mới thi Vòng 1 thôi. Cuối tháng 12 mới thi vòng 2.