Chủ đề này có 6 trả lời

[congquyen182]

1/ Cho a, b, c là các số thực dương, a+b+c=3. C/m $abc +\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$ ?

2/ Cho a, b, c $\geq$ 0, thỏa mãn: ab + bc+ ca + abc =4. C/m $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$ ?

3/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : ab + bc + ca =3 . C/m $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{6}+\frac{3}{a+b+c}$

4/ Cho a, b, c $\epsilon (0;1)$ thỏa mãn : abc = (1-a)(1-b)(1-c). C/m $a^{3}+b^{3}+c^{3}+5abc\geq 1$

[Tea Coffee]

Mình làm thế này không biết có đúng không 

2/

Ta có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac=>3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 3(ab+bc+ac+abc)-2abc= 12-2abc$

Ta đi chứng minh $abc\leq 1$

$ab+bc+ac+abc\geq 4\sqrt[4]{ab.bc.ac.abc}=>4\geq 4\sqrt[4]{a^{3}b^{3}c^{3}}=>abc\leq 1$

Đẳng thức xảy ra <=> $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 17-11-2017 - 23:40

[HoangPhuongAnh]

Cho a,b,c>0 và a+b+c =< 3/2 tìm min:

S= $\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+ \sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+ \sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangPhuongAnh: 18-11-2017 - 10:14

[hanguyen445]

1/ Cho a, b, c là các số thực dương, a+b+c=3. C/m $abc +\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$ ?

2/ Cho a, b, c $\geq$ 0, thỏa mãn: ab + bc+ ca + abc =4. C/m $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$ ?

3/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : ab + bc + ca =3 . C/m $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{6}+\frac{3}{a+b+c}$

4/ Cho a, b, c $\epsilon (0;1)$ thỏa mãn : abc = (1-a)(1-b)(1-c). C/m $a^{3}+b^{3}+c^{3}+5abc\geq 1$

Sử dụng nguyên lý Dirichle đối với bài toán 1/ ta có lời giải:

Hình gửi kèm

• 

[DOTOANNANG]

1/ Cho a, b, c là các số thực dương, a+b+c=3. C/m $abc +\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$ ?

2/ Cho a, b, c $\geq$ 0, thỏa mãn: ab + bc+ ca + abc =4. C/m $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$ ?

3/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : ab + bc + ca =3 . C/m $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{6}+\frac{3}{a+b+c}$

4/ Cho a, b, c $\epsilon (0;1)$ thỏa mãn : abc = (1-a)(1-b)(1-c). C/m $a^{3}+b^{3}+c^{3}+5abc\geq 1$

Thật ra bài 1 còn cách khác nữa.

Bằng cách dùng bất đẳng thức Schur bậc ba ta có:

$\left ( a+ b+ c \right )^{3}+ 9abc\geq 4\left ( a+ b+ c \right )\left ( ab+ bc+ ca \right ) \Rightarrow 3abc\geq 4\left ( ab+ bc+ ca \right )- 9 \Leftrightarrow 4\left ( ab+ bc+ ca \right )- 9+ \frac{36}{ab+ bc+ ca}\geq 15. dpcm\Leftrightarrow \left ( ab+ bc+ ca- 3\right )\geq 0$.

Bất đẳng thức trên luôn đúng.

Dấu bằng xảy xa khai và chỉ khi: (a, b, c)=(1, 1, 1)

[nmtuan2001]

3/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : ab + bc + ca =3 . C/m $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{6}+\frac{3}{a+b+c}$

Nhân cả 2 vế với $a+b+c$ và rút gọn:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$$

BĐT trên đúng theo Cauchy-Schwarz: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c}{ca+bc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$

[nmtuan2001]

Cho a,b,c>0 và a+b+c =< 3/2 tìm min:

S= $\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+ \sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+ \sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}$ 

$S^2=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\sum \sqrt{(a^2+\frac{1}{b^2})(b^2+\frac{1}{c^2})}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz: $\sum \sqrt{(a^2+\frac{1}{b^2})(b^2+\frac{1}{c^2})} \geq \sum (ab+\frac{1}{bc})$

Suy ra $S^2 \geq (a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2$ (thực ra đây là hệ quả của BĐT Minkowski thì phải)

Mà $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$, nên

$$S^2 \geq (a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}=(a+b+c)^2+\frac{81}{16(a+b+c)^2}+\frac{15}{16}.\frac{81}{(a+b+c)^2}$$

$$\geq 2\sqrt{(a+b+c)^2.\frac{81}{16(a+b+c)^2}}+\frac{15}{16}.\frac{81}{(\frac{3}{2})^2}=\frac{9}{2}+\frac{135}{4}=\frac{153}{4}$$

Vậy $S \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$ với dấu $=$ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$.