Chủ đề này có 1 trả lời

[Tea Coffee]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

b) $\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+\frac{c^{3}}{c+2a^{3}}\geq 1$

[Hoang Dinh Nhat]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

b) $\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

 

a) Theo $AM-GM$, ta có: $\frac{a^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\geq a-\frac{2\sqrt[3]{a^2b^2}}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq a+b+c-\frac{2}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})$

Theo BĐT $Holder$, ta có: $\frac{(a+b+c)^4}{3}\geq 3(ab+bc+ca)^2\geq (\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})^3$

$\Rightarrow \sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq 3$

$\Rightarrow  \sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$. $Q.E.D$

Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c=1$

b) Tương tự