Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{b^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{c^{3}}{(1+c)(1+a)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

1) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a-b)^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b-c)^{2}}\leq 1$

2)Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. CMR:

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{b^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{c^{3}}{(1+c)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 18-11-2017 - 09:31

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#2
kytrieu

kytrieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết

2)Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. CMR:

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{b^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{c^{3}}{(1+c)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

Ta có

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự cộng vế ta được $VT+\frac{a+b+c+3}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$


                                                                         $\sqrt{VMF}$

                                                                 

                                                


#3
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

1) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a-b)^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b-c)^{2}}\leq 1$

Vì BĐT thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=3$

BĐT cần chứng minh trở thành: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq 1$

Ta có đánh giá: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}\leq \frac{2a-1}{3}$$\Leftrightarrow 3(a-1)^2(4a-3)\geq 0$

Nếu $a,b,c\geq \frac{3}{4}$ thì đánh giá luôn đúng nên ta có: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq \frac{2(a+b+c)-3}{3}=1$

Nếu $a,b,c<\frac{3}{4}$ thì: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}<\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}<1$

Vậy BĐT được chứng minh:

Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 18-11-2017 - 17:23

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#4
HoangPhuongAnh

HoangPhuongAnh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Ta có

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự cộng vế ta được $VT+\frac{a+b+c+3}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

Tại sao lại cộng với 1+a/8 + 1+b/8 mà không phải số khác vậy bạn?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangPhuongAnh: 18-11-2017 - 18:15


#5
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Vì BĐT thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=3$

BĐT cần chứng minh trở thành: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq 1$

Ta có đánh giá: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}\leq \frac{2a-1}{3}$$\Leftrightarrow 3(a-1)^2(4a-3)\geq 0$

Nếu $a,b,c\geq \frac{3}{4}$ thì đánh giá luôn đúng nên ta có: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq \frac{2(a+b+c)-3}{3}=1$

Nếu $a,b,c<\frac{3}{4}$ thì: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}<\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}<1$

Vậy BĐT được chứng minh:

Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c=1$

hình như bạn xét thiếu trg hợp nếu 2 số$\geq \frac{3}{4}$, 1số $< \frac{3}{4}$ thì sao


Đặng Minh Đức CTBer


#6
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Tại sao lại cộng với 1+a/8 + 1+b/8 mà không phải số khác vậy bạn?

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#7
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Vì BĐT thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=3$

BĐT cần chứng minh trở thành: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq 1$

Ta có đánh giá: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}\leq \frac{2a-1}{3}$$\Leftrightarrow 3(a-1)^2(4a-3)\geq 0$

Nếu $a,b,c\geq \frac{3}{4}$ thì đánh giá luôn đúng nên ta có: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq \frac{2(a+b+c)-3}{3}=1$

Nếu $a,b,c<\frac{3}{4}$ thì: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}<\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}<1$

Vậy BĐT được chứng minh:

Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c=1$

Thứ nhất cho em hỏi cụ thể trong BĐT trên thuần nhất ở chỗ nào và tại sao là dùng chuẩn hóa ở đây ạ? Với lại tại sao lại chuẩn hóa bằng 3 à?


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh