Cho $x$ là số thoả mãn $x+x^{-1}=7.$ Chứng minh rằng $x^{10}+x^{-10}$ là một số nguyên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 21-11-2017 - 02:34
#2
Đã gửi 19-11-2017 - 08:00
Thanhbone
-
- Thành viên mới
-
- 11 Bài viết
Binh nhì
Ta có : $x+x^{-1}=7 \in Z$
$\Leftrightarrow x^2+x^{-2}=47\in Z$
$\Rightarrow x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})^3-3(x^2+x^{-2}) \in Z$
$\Rightarrow x^5+x^{-5}=(x^2+x^{-2})(x^3+x^{-3})-(x+x^{-1}) \in Z$
$\Rightarrow x^{10}+x^{-10}=(x^5+x^{-5})^2-2 \in Z$
$\Leftrightarrow x^2+x^{-2}=47\in Z$
$\Rightarrow x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})^3-3(x^2+x^{-2}) \in Z$
$\Rightarrow x^5+x^{-5}=(x^2+x^{-2})(x^3+x^{-3})-(x+x^{-1}) \in Z$
$\Rightarrow x^{10}+x^{-10}=(x^5+x^{-5})^2-2 \in Z$
- twinprimes, Lao Hac và Khoa Linh thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
