Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\frac{-8}{3}\leq x;y;z\leq \frac{8}{3}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
lelehieu2002

lelehieu2002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Cho x,y,z là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 & \\ xy+yz+xz=4 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $\frac{-8}{3}\leq x;y;z\leq \frac{8}{3}$( Chứng minh x,y,z từng cái một)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lelehieu2002: 19-11-2017 - 08:58


#2
TrucCumgarDaklak

TrucCumgarDaklak

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết

$\left ( x+y+z \right )^{2}=\sum x^{2}+2\sum xy=8+2.4=16\Rightarrow x+y+z=\pm 4$

$+$ Trường hợp $1$: $x+y+z=-4$

$\Rightarrow y+z=-4-x\Rightarrow \left ( y+z \right )^{2}=\left ( -4-x \right )^{2}$

Theo bất đẳng thức $Bunyakovsky$: $2\left ( y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( y+z \right )^{2}$

$\Rightarrow 2\left ( y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( -4-x \right )^{2}\Rightarrow 2\left ( 8-x^{2} \right )\geq \left ( -4-x \right )^{2}\Leftrightarrow -3x^{2}-8x\geq 0\Leftrightarrow \frac{-8}{3}\leq x\leq 0$

Chứng minh tương tự với trường hợp $x+y+z=4$ ta được $0\leq x\leq \frac{8}{3}$

Kết hợp cả $2$ trường hợp $\Rightarrow \frac{-8}{3}\leq x\leq \frac{8}{3}$

Với $y, z$ chứng minh tương tự.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh