$\left ( x+y+z \right )^{2}=\sum x^{2}+2\sum xy=8+2.4=16\Rightarrow x+y+z=\pm 4$
$+$ Trường hợp $1$: $x+y+z=-4$
$\Rightarrow y+z=-4-x\Rightarrow \left ( y+z \right )^{2}=\left ( -4-x \right )^{2}$
Theo bất đẳng thức $Bunyakovsky$: $2\left ( y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( y+z \right )^{2}$
$\Rightarrow 2\left ( y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( -4-x \right )^{2}\Rightarrow 2\left ( 8-x^{2} \right )\geq \left ( -4-x \right )^{2}\Leftrightarrow -3x^{2}-8x\geq 0\Leftrightarrow \frac{-8}{3}\leq x\leq 0$
Chứng minh tương tự với trường hợp $x+y+z=4$ ta được $0\leq x\leq \frac{8}{3}$
Kết hợp cả $2$ trường hợp $\Rightarrow \frac{-8}{3}\leq x\leq \frac{8}{3}$
Với $y, z$ chứng minh tương tự.