BÀI KIỂM TRA SỐ 2 TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC MIỀN NAM
Ngày thi thứ nhất: 17 - 11 - 2017
Thời gian làm bài: 180 phút
ĐỀ BÀI:
Bài 5: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y), \forall x, y\in \mathbb{R}.$
Bài 6: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ tiếp xúc ngoài tại $M.$ Một đường thẳng cắt $(O_{1})$ tại $A,$ $B$ và tiếp xúc với $(O_{2})$ tại $E$ ($B$ nằm giữa $A$ và $E).$ Đường thẳng $EM$ cắt $(O_{1})$ tại điểm $J$ khác $M.$ $C$ là một điểm thuộc cung $MJ$ không chứa $A,$ $B$ của $(O_{1})$ ($C$ khác $M$ và $J).$ Kẻ tiếp tuyến $CF$ với đường tròn $(O_{2})$ ($F$ là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng $CF$ và $MJ$ không cắt nhau. Gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng $CJ$ và $EF,$ $K$ là giao điểm khác $A$ của đường thẳng $AI$ và đường tròn $(O_{1}).$ Chứng minh rằng:
a. Tứ giác $MCFI$ là tứ giác nội tiếp và $JA^{2}=JI^{2}=JM.JE.$
b. $CI$ là phân giác ngoài tại $C$ của tam giác $ABC.$
c. $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BCI.$
Bài 7: Biết rằng với dãy nguyên dương $1< k_{1}< k_{2}< ...< k_{n}$ và dãy nguyên tương ứng $s_{1}, s_{2}, ..., s_{n}$ với mọi số nguyên dương $N$ đều tồn tại $i\in \left \{ 1, 2, ..., n \right \}$ sao cho $N\equiv s_{i}$ $($ $mod$ $k_{i}$ $).$
a. Tìm dãy $\left \{ k_{n} \right \}$ và dãy $\left \{ s_{n} \right \}$ thỏa mãn khi $k_{1}=2, k_{2}=3.$
b. Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{k_{i}}\geq 1.$
c. Tìm $n$ nhỏ nhất để có các dãy thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 19-11-2017 - 09:26