cháu nghĩ mình nên tìm cách làm có định hướng.........cháu nghĩ thế này không biết có được không:$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{z}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 23a &23b &23c \end{vmatrix} (d_3\rightarrow xd_1+yd_2+zd_3)$
Có nghĩ là mình sẽ tổ hợp tuyến tính sao cho có 1 dòng chứa bội số của 23 tức tìm 2 bộ số (x,y,z) và (a,b,c) thỏa mãn :
$\left\{\begin{matrix} x+y+5z=23a\\ x+8y+4z=23b\\ 2x+5y+3z=23c \end{matrix}\right.$
Bộ số $(a,b,c)$ ta có thể chọn tùy ý những không đồng thời bằng 0 toàn bộ, có thể chọn $(a,b,c)=(1,2,3).$ Khi đó có bộ $(x,y,z)=(30;3;-2)$
Khi đó :$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{-2}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 23.1 &23.2 &23.3 \end{vmatrix}=23.\frac{1}{-2}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix} \vdots 23$
Thật ra cách làm của mình là "có định hướng" đấy chứ. Nó gồm các bước sau :
1. Biến đổi định thức cấp 3 sao cho xuất hiện 1 hàng hoặc 1 cột có $2$ phần tử $0$.
2. Giảm cấp của định thức (trở thành định thức cấp 2 nhân với 1 hệ số thích hợp nào đó)
3. Nếu hệ số đó không chia hết cho $23$ thì biến đổi tiếp định thức cấp 2 sao cho có 1 cột hoặc 1 hàng gồm toàn các phần tử chia hết cho $23$.
Nếu đề bài thay đổi một chút : Không tính định thức, hãy chứng minh định thức sau chia hết cho $23$ : $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}$
Mình sẽ làm thế này :
$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &-5 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &8 &10 \\ 1 &1 &7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}8 &10\\1 &7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}8 &-46\\1 &0 \end{vmatrix}$
Vì $-46$ và $0$ đều chia hết cho $23$ nên định thức đã cho chia hết cho $23$
Nếu làm theo cách của bạn :
$\left\{\begin{matrix} 5x+y+z=23a\\ 4x+8y+z=23b\\ 3x+5y+2z=23c \end{matrix}\right.$
Nếu chọn $(a,b,c)=(1,2,3)$ suy ra $(x,y,z)=(-2,3,30)$
Khi đó :
$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$
Đến đây nếu không tính định thức, làm sao khẳng định cái định thức $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$ chia hết cho $30$ ? Chẳng lẽ phải chọn bộ số $(a,b,c)$ khác ?