Chủ đề này có 15 trả lời

[caybutbixanh]

Câu 1: Không tính định thức, hãy chứng minh định thức sau chia hết cho 23:$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}$

Câu 2: Không tính định thức, hãy chứng minh:$\begin{vmatrix} 1 &a &a^3 \\ 1 &b &b^3 \\ 1 &c &c^3 \end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

[An Infinitesimal]

Câu 1: Không tính định thức, hãy chứng minh định thức sau chia hết cho 23:$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}$

Câu 2: Không tính định thức, hãy chứng minh:$\begin{vmatrix} 1 &a &a^3 \\ 1 &b &b^3 \\ 1 &c &c^3 \end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

 

Câu 2: Xem định thức như hàm đa thức bậc theo $a$ $3$ theo $a$. 

Từ việc chứng minh $b, c, -b-c$ là các nghiệm cũng như tính giá trị $p(0)$, ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.

[caybutbixanh]

Câu 2: Xem định thức như hàm đa thức bậc theo $a$ $3$ theo $a$. 

Từ việc chứng minh $b, c, -b-c$ là các nghiệm cũng như tính giá trị $p(0)$, ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Anh có thể viết cụ thể ra được không ạ ? Đây là lần đầu tiên em gặp mấy dạng bài như thế này......

[anhquannbk]

 

Câu 2: Không tính định thức, hãy chứng minh:$\begin{vmatrix} 1 &a &a^3 \\ 1 &b &b^3 \\ 1 &c &c^3 \end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

 Ta có  vế trái là hệ số của $x^2$ trong khai triển của định thức

$D=\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 &a^3 \\ 1 &b & b^2&b^3 \\ 1 &c& c^2 &c^3 \\ 1 &x &x^2 &x^3 \end{vmatrix}$

Mà $D$ là định thức Vandermonde nên

$D=(x-a)(x-b)(x-c). A$ với  $ A=\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 &a^3 \\ 1 &b & b^2&b^3 \\ 1 &c& c^2 &c^3 \end{vmatrix}$

và $A$ cũng là định thức Vandermonde nên $A=(b-a)(c-a)(c-b)$.

Do đó $\begin{vmatrix} 1 &a &a^3 \\ 1 &b &b^3 \\ 1 &c &c^3 \end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

[chanhquocnghiem]

Câu 1: Không tính định thức, hãy chứng minh định thức sau chia hết cho 23:$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &2 \\ 1 &7 &5 \\ 5 &-1 &3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &7 &3 \\ 5 &-1 &-7 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 36 &0 &-46 \\ 5 &-1 &-7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}0 &-46 \\ -1 &-7 \end{vmatrix}$

Vì $0$ và $-46$ đều chia hết cho $23$ nên định thức đã cho chia hết cho $23$.

[An Infinitesimal]

 Ta có  vế trái là hệ số của $x^2$ trong khai triển của định thức

$D=\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 &a^3 \\ 1 &b & b^2&b^3 \\ 1 &c& c^2 &c^3 \\ 1 &x &x^2 &x^3 \end{vmatrix}$

Mà $D$ là định thức Vandermonde nên

$D=(x-a)(x-b)(x-c). A$ với  $ A=\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 &a^3 \\ 1 &b & b^2&b^3 \\ 1 &c& c^2 &c^3 \end{vmatrix}$

và $A$ cũng là định thức Vandermonde nên $A=(b-a)(c-a)(c-b)$.

Do đó $\begin{vmatrix} 1 &a &a^3 \\ 1 &b &b^3 \\ 1 &c &c^3 \end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

Làm bài như thế không đúng yêu cầu.

[vutuanhien]

Anh có thể viết cụ thể ra được không ạ ? Đây là lần đầu tiên em gặp mấy dạng bài như thế này......

Ta đặt $$p(a)=\begin{vmatrix} 1 & a & a^3\\ 1 & b & b^3\\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix}$$ Đây là một đa thức bậc $3$ theo ẩn $a$. Đầu tiên cho $a=b$, thì định thức có hàng 1 và 2 giống nhau, nên định thức bằng $0$. Do đó $p(b)=0$. Tương tự $p(c)=0$. Kế tiếp đó ta chứng minh $p(-b-c)=0$. Như vậy $$p(a)=k(a-b)(a-c)(a+b+c)$$ Ta lại thấy hệ số của $a^{3}$ là $\begin{vmatrix} 1 & b\\ 1 & c \end{vmatrix}$ nên $k=c-b$. Vậy $$p(a)=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$$

[caybutbixanh]

$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &2 \\ 1 &7 &5 \\ 5 &-1 &3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &7 &3 \\ 5 &-1 &-7 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 36 &0 &-46 \\ 5 &-1 &-7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}0 &-46 \\ -1 &-7 \end{vmatrix}$

Vì $0$ và $-46$ đều chia hết cho $23$ nên định thức đã cho chia hết cho $23$.

cháu nghĩ mình nên tìm cách làm có định hướng.........cháu nghĩ thế này không biết có được không:$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{z}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 23a &23b &23c \end{vmatrix} (d_3\rightarrow xd_1+yd_2+zd_3)$

Có nghĩ là mình sẽ tổ hợp tuyến tính sao cho có 1 dòng chứa bội số của 23 tức tìm 2 bộ số (x,y,z) và (a,b,c) thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} x+y+5z=23a\\ x+8y+4z=23b\\ 2x+5y+3z=23c \end{matrix}\right.$

Bộ số $(a,b,c)$ ta có thể chọn tùy ý những không đồng thời bằng 0 toàn bộ, có thể chọn $(a,b,c)=(1,2,3).$ Khi đó có bộ $(x,y,z)=(30;3;-2)$

Khi đó :$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{-2}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 23.1 &23.2 &23.3 \end{vmatrix}=23.\frac{1}{-2}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix} \vdots 23$

[chanhquocnghiem]

cháu nghĩ mình nên tìm cách làm có định hướng.........cháu nghĩ thế này không biết có được không:$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{z}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 23a &23b &23c \end{vmatrix} (d_3\rightarrow xd_1+yd_2+zd_3)$

Có nghĩ là mình sẽ tổ hợp tuyến tính sao cho có 1 dòng chứa bội số của 23 tức tìm 2 bộ số (x,y,z) và (a,b,c) thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} x+y+5z=23a\\ x+8y+4z=23b\\ 2x+5y+3z=23c \end{matrix}\right.$

Bộ số $(a,b,c)$ ta có thể chọn tùy ý những không đồng thời bằng 0 toàn bộ, có thể chọn $(a,b,c)=(1,2,3).$ Khi đó có bộ $(x,y,z)=(30;3;-2)$

Khi đó :$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 5 &4 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{-2}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 23.1 &23.2 &23.3 \end{vmatrix}=23.\frac{1}{-2}.\begin{vmatrix} 1 &1 &2 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix} \vdots 23$

Thật ra cách làm của mình là "có định hướng" đấy chứ. Nó gồm các bước sau :

1. Biến đổi định thức cấp 3 sao cho xuất hiện 1 hàng hoặc 1 cột có $2$ phần tử $0$.

2. Giảm cấp của định thức (trở thành định thức cấp 2 nhân với 1 hệ số thích hợp nào đó)

3. Nếu hệ số đó không chia hết cho $23$ thì biến đổi tiếp định thức cấp 2 sao cho có 1 cột hoặc 1 hàng gồm toàn các phần tử chia hết cho $23$.

 

Nếu đề bài thay đổi một chút : Không tính định thức, hãy chứng minh định thức sau chia hết cho $23$ : $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}$

 

Mình sẽ làm thế này :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &-5 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &8 &10 \\ 1 &1 &7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}8 &10\\1 &7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}8 &-46\\1 &0 \end{vmatrix}$

Vì $-46$ và $0$ đều chia hết cho $23$ nên định thức đã cho chia hết cho $23$

 

Nếu làm theo cách của bạn :

$\left\{\begin{matrix} 5x+y+z=23a\\ 4x+8y+z=23b\\ 3x+5y+2z=23c \end{matrix}\right.$

Nếu chọn $(a,b,c)=(1,2,3)$ suy ra $(x,y,z)=(-2,3,30)$

Khi đó :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$

Đến đây nếu không tính định thức, làm sao khẳng định cái định thức $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$ chia hết cho $30$ ? Chẳng lẽ phải chọn bộ số $(a,b,c)$ khác ?

[caybutbixanh]

Thật ra cách làm của mình là "có định hướng" đấy chứ. Nó gồm các bước sau :

1. Biến đổi định thức cấp 3 sao cho xuất hiện 1 hàng hoặc 1 cột có $2$ phần tử $0$.

2. Giảm cấp của định thức (trở thành định thức cấp 2 nhân với 1 hệ số thích hợp nào đó)

3. Nếu hệ số đó không chia hết cho $23$ thì biến đổi tiếp định thức cấp 2 sao cho có 1 cột hoặc 1 hàng gồm toàn các phần tử chia hết cho $23$.

 

Nếu đề bài thay đổi một chút : Không tính định thức, hãy chứng minh định thức sau chia hết cho $23$ : $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}$

 

Mình sẽ làm thế này :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &-5 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &8 &10 \\ 1 &1 &7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}8 &10\\1 &7 \end{vmatrix}=1.\begin{vmatrix}8 &-46\\1 &0 \end{vmatrix}$

Vì $-46$ và $0$ đều chia hết cho $23$ nên định thức đã cho chia hết cho $23$

 

Nếu làm theo cách của bạn :

$\left\{\begin{matrix} 5x+y+z=23a\\ 4x+8y+z=23b\\ 3x+5y+2z=23c \end{matrix}\right.$

Nếu chọn $(a,b,c)=(1,2,3)$ suy ra $(x,y,z)=(-2,3,30)$

Khi đó :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$

Đến đây nếu không tính định thức, làm sao khẳng định cái định thức $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$ chia hết cho $30$ ? Chẳng lẽ phải chọn bộ số $(a,b,c)$ khác ?

Có gì nhầm rồi thì phải........Cái định thức chú mới đưa ra nếu tính trực tiếp đâu có chia hết cho 30 đâu ạ.............

[chanhquocnghiem]

Có gì nhầm rồi thì phải........Cái định thức chú mới đưa ra nếu tính trực tiếp đâu có chia hết cho 30 đâu ạ.............

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}=5.8.3+4.5.1+3.1.2-1.8.3-1.4.3-5.2.5=60$ (chia hết cho $30$)

[caybutbixanh]

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix} (1)=5.8.3+4.5.1+3.1.2-1.8.3-1.4.3-5.2.5=60$ (chia hết cho $30$)

Cháu xin lỗi...cháu nhìn nhầm.....ở cái định thức (1) đó cháu sẽ chọn (a,b,c)=(-1;2;3) ta sẽ được (x,y,z)=(-14;6;34).....

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{34}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -30 &60 &90 \end{vmatrix}=\frac{1}{34}.30.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix} \vdots 30.$

 

Mình không cứng nhắc việc chọn bộ số (a,b,c)........miễn tìm ra được bộ (x,y,z) thỏa mãn không có đối tượng nào bằng 0 .......( cái này hơi có vẻ casio một tí )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 16-12-2017 - 14:55

[chanhquocnghiem]

Cháu xin lỗi...cháu nhìn nhầm.....ở cái định thức (1) đó cháu sẽ chọn (a,b,c)=(-1;2;3) ta sẽ được (x,y,z)=(-14;6;34).....

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}=\frac{1}{34}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -30 &60 &90 \end{vmatrix}=\frac{1}{34}.30.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix} \vdots 30.$

 

Mình không cứng nhắc việc chọn bộ số (a,b,c)........miễn tìm ra được bộ (x,y,z) thỏa mãn không có đối tượng nào bằng 0 .......( cái này hơi có vẻ casio một tí )

Vậy sẽ nảy sinh vấn đề mới là không tính định thức mà phải chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}$ chia hết cho $34$

[caybutbixanh]

Vậy sẽ nảy sinh vấn đề mới là không tính định thức mà phải chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}$ chia hết cho $34$

Tức là theo chú cách làm của cháu có lỗ hỏng.......cháu có để ý mấy cái định thức mà chú đưa ra :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1&2 & 3 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\frac{30}{34}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\frac{30}{34}.\frac{34}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}$

Nếu chứng minh được $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}\vdots 34$ thì $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}\vdots 34$. Nhưng điều này là vô lí

Có phải đây là ý của chú ?

[chanhquocnghiem]

Tức là theo chú cách làm của cháu có lỗ hỏng.......cháu có để ý mấy cái định thức mà chú đưa ra :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1&2 & 3 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\frac{30}{34}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\frac{30}{34}.\frac{34}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}$

Nếu chứng minh được $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}\vdots 34$ thì $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}\vdots 34$. Nhưng điều này là vô lí

Có phải đây là ý của chú ?

Đơn giản là thế này :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$

Nếu $a,b\in \mathbb{Z}$ và $a=\frac{23}{30}.b$ thì $a\ \vdots\ 23\Leftrightarrow b\ \vdots \ 30$

Vậy nếu muốn chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}\ \vdots \ 23$ thì phải chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}\ \vdots \ 30$

 

Tương tự, nếu muốn chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}\ \vdots \ 30$ thì phải chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}\ \vdots \ 34$. Như vậy là luôn nảy sinh vấn đề mới (bài toán sẽ giải mãi không xong)

[caybutbixanh]

Đơn giản là thế này :

$\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=\frac{23}{30}.\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}$

Nếu $a,b\in \mathbb{Z}$ và $a=\frac{23}{30}.b$ thì $a\ \vdots\ 23\Leftrightarrow b\ \vdots \ 30$

Vậy nếu muốn chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}\ \vdots \ 23$ thì phải chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}\ \vdots \ 30$

 

Tương tự, nếu muốn chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}\ \vdots \ 30$ thì phải chứng minh $\begin{vmatrix} 5 &4 &3 \\ 1 &8 &5 \\ -1 &2 &3 \end{vmatrix}\ \vdots \ 34$. Như vậy là luôn nảy sinh vấn đề mới (bài toán sẽ giải mãi không xong)

Vâng con cám ơn chú đã chỉ ra sai sót..con sẽ tìm cách khắc phục sớm nhất.........có mấy bài chuỗi con mới gửi mong chú giúp...