Cho hàm số $f:[a,b] \rightarrow [a,b] $ thỏa mãn điều kiện
$|f(x)-f(y)| <|x-y|$ với mọi $x \in [a,b], x \ne y$.
Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ luôn luôn có nghiệm duy nhất trên $[a,b]$.
#2
Đã gửi 21-11-2017 - 22:20
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1668 Bài viết
Độc cô cầu bại
Cho hàm số $f:[a,b] \rightarrow [a,b] $ thỏa mãn điều kiện
$|f(x)-f(y)| <|x-y|$ với mọi $x \in [a,b], x \ne y$.
Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ luôn luôn có nghiệm duy nhất trên $[a,b]$.
Tổng quát: Với $X$ là không gian metric compact và $f: X \to X$ thỏa mãn $d(f(x),f(y))<d(x,y) \forall x \neq y$ khi đó $f$ có điểm bất động duy nhất trên $X$.
Chứng minh:
Xét phép hợp thành các ánh xạ :
$$X \overset{(f,id)}{\rightarrow} X \times X \overset{d}{\rightarrow} R$$
Lưu ý đây đều là ánh xạ liên tục, nên sẽ biến tập compact thành compact, nói cách khác tập $A=\left \{ d(f(x),x)|x \in X \right \}$ là compact trong $R$, tức là có min, giả sử $a=minA=d(f(x),x)$ thì $a \geq 0$ . Giả sử $a > 0$ khi đó $f(x) \neq x$ và $d(f(f(x)),f(x))<a$ vô lý, vậy $a=0$ hay $f$ có điểm bất động, cũng dễ thấy điểm bất động phải là duy nhất.
Phản ví dụ khi $X$ không compact, chọn $X =(0,1)$ và $f(x)=sinx$. Xét phương trình $sinx=x$ trên $(0,1)$ vô nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 24-11-2017 - 00:40
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
