Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

Đề chọn HSG QG Trung Quốc 2018


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 267 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{10T1 THPT Chuyên}$ $\boxed{\text{ LHP - Nam Định}}$
  • Sở thích:một đứa nghiện tổ hợp

Đã gửi 21-11-2017 - 23:33

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $A_n$ là tập các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a;b$ thỏa mãn $\frac{a+b}{p}$ và $\frac{a^n+b^n}{p}$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với $p$. Nếu $A_n$ hữu hạn, gọi $f(n)$ là số phần tử của nó.
a) Chứng minh $A_n$ hữu hạn khi và chỉ khi $n\ne 2$.
b) Cho $m;k$ là các số nguyên dương lẻ và $d=(m,k)$. Chứng minh
$f(d)\le f(k)+f(m)-f(mk)\le 2f(d)$
Bài 2. Cho $n;k$ là các số nguyên dương và tập
$T=\left\{(x;y;z)\in \mathbb{N}^3|1\le x,y,z\le n\right\}$
Biết $3n^2-3n+1+k$ điểm của $T$ được tô đỏ sao cho nếu $P,Q$ là các điểm đỏ và $PQ$ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc $PQ$ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất $k$ hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ
Bài 3. Cho $q$ là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương $C$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, ta có $\left\{nq^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{nq^{\frac{2}{3}}\right\}\ge Cn^{-\frac{1}{2}}$

 

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp với $P$ là giao điểm của hai đường chéo. $(ADP)$ cắt đoạn $AB$ tại $A$ và $E$. $(PBC)$ cắt đoạn $AB$ tại $B$ và $F$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ADE$ và $BCF$. Các đoạn $IJ$ và $AC$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh các điểm $A,I,K,E$ cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5. Cho $n\ge 3$ là một số lẻ và giả sử rằng mỗi ô của bảng ô vuông $n\times n$ đã được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng. Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có cùng màu và chung một đỉnh. Hai ô vuông $a,b$ được gọi là liên thông nếu tồn tại một dãy ô $c_1;...;c_n$ sao cho $c_1=a;c_k=b$ và $c_i;c_{i+1}$ kề nhau với mọi $i=\overline{1,n}$. Tìm số $M$ lớn nhất sao cho tồn tại một cách tô màu có $M$ ô vuông đôi một liên thông.
Bài 6. Cho các số nguyên dương $n,k$ thỏa mãn $n>k$ và $a_;a_2;...a_n\in (k-1,k)$. Xét các số thực dương $x_1;x_2;...;x_n$ có tính chất: Với mỗi $\mathbb{I}\subseteq \left\{1;2;...;k\right\}$, $|\mathbb{I}|=k$, ta có $\sum_{i\in \mathbb{I}}x_i\le\sum_{i\in \mathbb{I}}a_i$ . Tìm giá trị lớn nhất của $x_1.x_2...x_n$

Nguồn: Nguyễn Trung Tuân 

https://nttuan.org/2...2018/#more-7198


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 22-11-2017 - 12:34

SPAM




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh