Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề chọn HSG QG Trung Quốc 2018


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 297 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:Algebraic and enumerative combinatoric :V

Đã gửi 21-11-2017 - 23:33

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $A_n$ là tập các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a;b$ thỏa mãn $\frac{a+b}{p}$ và $\frac{a^n+b^n}{p}$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với $p$. Nếu $A_n$ hữu hạn, gọi $f(n)$ là số phần tử của nó.
a) Chứng minh $A_n$ hữu hạn khi và chỉ khi $n\ne 2$.
b) Cho $m;k$ là các số nguyên dương lẻ và $d=(m,k)$. Chứng minh
$f(d)\le f(k)+f(m)-f(mk)\le 2f(d)$
Bài 2. Cho $n;k$ là các số nguyên dương và tập
$T=\left\{(x;y;z)\in \mathbb{N}^3|1\le x,y,z\le n\right\}$
Biết $3n^2-3n+1+k$ điểm của $T$ được tô đỏ sao cho nếu $P,Q$ là các điểm đỏ và $PQ$ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc $PQ$ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất $k$ hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ
Bài 3. Cho $q$ là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương $C$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, ta có $\left\{nq^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{nq^{\frac{2}{3}}\right\}\ge Cn^{-\frac{1}{2}}$

 

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp với $P$ là giao điểm của hai đường chéo. $(ADP)$ cắt đoạn $AB$ tại $A$ và $E$. $(PBC)$ cắt đoạn $AB$ tại $B$ và $F$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ADE$ và $BCF$. Các đoạn $IJ$ và $AC$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh các điểm $A,I,K,E$ cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5. Cho $n\ge 3$ là một số lẻ và giả sử rằng mỗi ô của bảng ô vuông $n\times n$ đã được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng. Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có cùng màu và chung một đỉnh. Hai ô vuông $a,b$ được gọi là liên thông nếu tồn tại một dãy ô $c_1;...;c_n$ sao cho $c_1=a;c_k=b$ và $c_i;c_{i+1}$ kề nhau với mọi $i=\overline{1,n}$. Tìm số $M$ lớn nhất sao cho tồn tại một cách tô màu có $M$ ô vuông đôi một liên thông.
Bài 6. Cho các số nguyên dương $n,k$ thỏa mãn $n>k$ và $a_;a_2;...a_n\in (k-1,k)$. Xét các số thực dương $x_1;x_2;...;x_n$ có tính chất: Với mỗi $\mathbb{I}\subseteq \left\{1;2;...;k\right\}$, $|\mathbb{I}|=k$, ta có $\sum_{i\in \mathbb{I}}x_i\le\sum_{i\in \mathbb{I}}a_i$ . Tìm giá trị lớn nhất của $x_1.x_2...x_n$

Nguồn: Nguyễn Trung Tuân 

https://nttuan.org/2...2018/#more-7198


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 22-11-2017 - 12:34

  :D :D  :D 

“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D  :D  :D 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh