Chủ đề này có 1 trả lời

[hungnolan]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$

CMR : CMR : $\sum \frac{1}{4-ab}\leq 1$

[DinhXuanHung CQB]

Từ giả thiết suy ra $a^2,b^2,c^2<2$ 

Áp dụng bất đẳng thức Schwars và bất đẳng thức $AM-GM$

$\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}\geq \frac{4}{8-2ab}=\frac{2}{4-ab}$

Cộng các bất đẳng thức trên với hai bất đẳng thức tương tự rồi chia cả 2 vế cho 2 ta được 

$\sum \frac{1}{4-ab}\leq \sum \frac{1}{4-a^2}$

Vì vậy chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{4-a^2}\leq 1$

Dễ dàng nhận thấy với $x^2<2$ thì

$\frac{x^4+5}{18}-\frac{1}{4-x^2}=\frac{(2-x^2)(x^2-1)^2}{18(4-x^2}\geq 0$

Suy ra $\sum \frac{1}{4-a^2}\leq \sum \frac{a^4+5}{18}=1$

Bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$