Chủ đề này có 1 trả lời

[eLcouQTai]

Cho n+1 số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2n. CMR: Luôn chọn được ba số mà tổng hai số này bằng số kia.

[thanhan2003]

Gọi tập hợp A gồm các phần tử a₁,a₂,a₃,...,a_n+1.(giả sử 2n>a_n+1>a_n>a_n-1>...>a1), tập hợp A có n+1 phần tử khác nhau

Gọi tập hợp B gồm các phần tử a₂-a₁,a₃-a₁,...,a_n+1-a₁

Theo điều giả sử trên thì tập hợp B có n phần tử khác nhau, mỗi phần tử bé hơn 2n.

Từ đó suy ra tập hợp A và tập hợp B có tất cả n+1+n=2n+1 phần tử khác nhau mà từ 1 đến 2n chỉ có 2n số

nên theo nguyên lý dirichlet tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

Giả sử nếu cả 2 số bằng nhau trên đều thuộc A thì vô lý theo điều giả sử, đều thuộc B thì vô lý vì B gồm tất cả n phần tử khác nhau.

Vậy 1 trong 2 số trên phải thuộc A, số còn lại thuộc B.

Giả sử 2 số đó là a_x thuộc A (x chạy từ 1 đến n+1), a_y-a₁ thuộc B (y chạy từ 2 đến n+1)

Ta có:a_x = a_y-a₁ => a_x + a₁ = a_y 

Vậy ta luôn chọn được ba số mà tổng hai số này bằng số kia (đpcm)