Đến nội dung

Hình ảnh

$ \sqrt[3]{a^{3}+7abc}+\sqrt[3]{b^{3}+7abc}+\sqrt[3]{c^{3}+7abc} \leq 2(a+b+c) $

- - - - - lớp 11

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
supernatural1

supernatural1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Cho ba số a,b,c dương. CMR:

$ \sqrt[3]{a^{3}+7abc}+\sqrt[3]{b^{3}+7abc}+\sqrt[3]{c^{3}+7abc} \leq 2(a+b+c) $



#2
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Cho ba số a,b,c dương. CMR:

$ \sqrt[3]{a^{3}+7abc}+\sqrt[3]{b^{3}+7abc}+\sqrt[3]{c^{3}+7abc} \leq 2(a+b+c) $

Chebyshev đi bạn



#3
supernatural1

supernatural1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Chebyshev đi bạn

Chebyshev kiểu gì vậy'



#4
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

Dùng BĐT Holder,

$$VT^3=(\sum \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a^2+7bc})^3 \geq (\sum \sqrt{a})^2(\sum (a^2+7bc))$$

Ta có $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \leq 3(a+b+c)$ (AM-GM)

$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2+5(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2+\frac{5}{3}(a+b+c)^2=\frac{8}{3}(a+b+c)^2$

Do đó $VT^3 \leq 3(a+b+c).\frac{8}{3}(a+b+c)^2=8(a+b+c)^3$.

Vậy $VT \leq 2(a+b+c)$. Ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 11

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh