Đến nội dung

Hình ảnh

$P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$

- - - - - lớp 11

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
supernatural1

supernatural1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

1/ Cho ba số thực $a,b,c$ phân biệt. Tìm GTNN:

$P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}).$

2/ Cho ba số thực $a,b,c$ sao cho $a+b+c=0,a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:

$ P=a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}.$

3/ Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho:

$(\frac{a}{b+c}+k)(\frac{b}{c+a}+k)(\frac{c}{a+b}+k) \geq (\frac{1}{2}+k)^{3}.$

4/ Cho $a,b,c>0$ sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1.$ CMR:

$ab+bc+ca \leq 2abc+\frac{1}{2}$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \geq a+b+c.$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 26-11-2017 - 16:48


#2
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

$4.$ Chứng minh $ab+bc+ca \leq 2abc+\frac{1}{2}$ 

Từ điều kiện $a^2+b^2+c^2+2abc=1$, ta có thể đặt $a=\frac{x}{\sqrt{(z+x)(x+y)}}, b=\frac{y}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}, c=\frac{z}{\sqrt{(y+z)(z+x)}}$.

BĐT tương đương với $\sum \frac{2xy}{(x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)}} \leq \frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+1$.

Áp dụng BĐT AM-GM: 

$$VT \leq \sum \frac{xy}{x+y}(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})=\frac{\sum xy(x+y+2z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

$$=\frac{\sum xy(x+y)+6xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+1$$

Ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=\frac{1}{2}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 08-12-2017 - 10:13


#3
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 1: Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$

Ta có: $a^2+b^2+c^2$$=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

                                    $\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

Đặt $x=a-b$,$y=b-c$ .Ta có:

$VT $$\geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+(x+y)^2)$$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2})$

        $\geq \frac{1}{3}(\frac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2)$$(\frac{8}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2})=\frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$$ b=a+c=0$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kienvuhoang: 10-12-2017 - 23:28






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 11

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh