Cho x là số nguyên dương (x>2). CMR: $x^{x+1}> (x+1)^{x}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 25-11-2017 - 12:20
Cho x là số nguyên dương (x>2). CMR: $x^{x+1}> (x+1)^{x}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 25-11-2017 - 12:20
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Cho x là số nguyên dương (x>2). CMR: $x^{x+1}> (x+1)^{x}$
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với $ x=3$ ta có $ 3^{3+1} > (3+1)^3$.
Giả sử đúng đến $x=k$, tức là $k^{k+1} > (k+1)^k$
Ta chứng minh $ (k+1)^{k+2} > (k+2)^{k+1}$ (*)
Ta sẽ chứng minh
$ \dfrac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}} > \dfrac{k^{k+1}}{(k+1)^k} $
$\iff (k+1)^{2k+2} > (k^2+2k)^{k+1}$
$\iff (k^2+2k+1)^{k+1} > (k^2+2k)^{k+1} $ (đúng với mọi $ k \ge 3$)
Suy ra $ \dfrac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}} > \dfrac{(k^{k+1}}{(k+1)^k} > 1$ (do (*))
nên $ (k+1)^{k+2} > (k+2)^{k+1}$
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 25-11-2017 - 16:00
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh