Cho a, b, c>0; a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 25-11-2017 - 19:40
#1
Đã gửi 25-11-2017 - 19:39
Khoa Linh
-
- Thành viên
-
- 601 Bài viết
Thiếu úy
- Tea Coffee yêu thích
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
#2
Đã gửi 12-12-2017 - 11:56
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
$$\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1} \geq a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{a^3b}}{2}$$
Tương tự ta được $VT \geq 3-\frac{1}{2}(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a})$.
Cần chứng minh $\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a} \leq 3$. (1)
Đặt $\sqrt{a}=x, \sqrt{b}=y, \sqrt{c}=z$.
BĐT(1) trở thành $3(x^3y+y^3z+z^3x) \leq (x^2+y^2+z^2)^2$.
Đây là một BĐT nổi tiếng nên ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.
Tương tự ta được $VT \geq 3-\frac{1}{2}(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a})$.
Cần chứng minh $\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a} \leq 3$. (1)
Đặt $\sqrt{a}=x, \sqrt{b}=y, \sqrt{c}=z$.
BĐT(1) trở thành $3(x^3y+y^3z+z^3x) \leq (x^2+y^2+z^2)^2$.
Đây là một BĐT nổi tiếng nên ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.
- Tea Coffee yêu thích
#3
Đã gửi 17-12-2017 - 21:31
toanhoc2017
-
- Banned
-
- 628 Bài viết
Thiếu úy
Chứng minh giúp mình bđt nổi tiếng tý anh e
#4
Đã gửi 17-12-2017 - 21:36
trieutuyennham
-
- Thành viên
-
- 470 Bài viết
Sĩ quan
#5
Đã gửi 18-12-2017 - 10:03
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
Chứng minh giúp mình bđt nổi tiếng tý anh e
Mình không muốn chứng minh tại đây vì mình không biết chứng minh 
.
Lời giải của BĐT này thì trên mạng có đầy rồi.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
Solved
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
