Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(2x+2y+f(x))=f(f(y))+8x,\forall x, y\in \mathbb{R}.$
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(2x+2y+f(x))=f(f(y))+8x,\forall x, y\in \mathbb{R}.$
Bắt đầu bởi Zz Isaac Newton Zz, 26-11-2017 - 10:46
#1
Đã gửi 26-11-2017 - 10:46
Zz Isaac Newton Zz
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 26-11-2017 - 20:51
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1423 Bài viết
Thượng úy
Giả sử tồn tại $a,b$ để $f(a)=f(b)=c$.
Gọi $P(x;y)$ là phép thế $(x;y)$.
$P(a;b)$: $f(2a+2b+c)=f(c)+8a$.
$P(b;a)$: $f(2a+2b+c)=f(c)+8b$.
Khi đó $a=b$ do đó $f$ đơn ánh.
$P(0;x):f(2x+f(0))=f(f(x) \Rightarrow f(x)=2x+c,c\in \mathbb{R}.$
Thử lại thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-11-2017 - 10:01
- Zz Isaac Newton Zz yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
