Đến nội dung

Hình ảnh

​$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Haht

Haht

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Chứng minh với mọi a,b,c dương ta đều có:
$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Chứng minh với mọi a,b,c dương ta đều có:
$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được: $\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}+1\geqslant 2\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}=\frac{2a(b+c)}{\sqrt{a(b+c).(a^2+bc)}}\geqslant \frac{4a(b+c)}{a^2+bc+a(b+c)}=\frac{4a(b+c)}{(a+b)(a+c)}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geqslant \frac{4[a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2]}{(a+b)(b+c)(c+a)}-3=\frac{4[(a+b)(b+c)(c+a)+4abc]}{(a+b)(b+c)(c+a)}-3=1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 19:21

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh