Chủ đề này có 12 trả lời

[honglanfa157]

1.Cho a,b,c >0 $abc=1$ chứng minh: $\sum \frac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}\geq 1$

2.Cho a,b,c >0 ;abc=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1$

3.Cho a,b,c,d >0, abcd=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}{(a+1)^2}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglanfa157: 27-11-2017 - 21:08

[trieutuyennham]

 

2.Cho a,b,c >0 ;abc=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1$

 

Đây là BĐT Vasc

Cm:

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{yz}{x^{2}} & \\ b=\frac{zx}{y^{2}} & \\ c=\frac{xy}{z^{2}} & \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}z^{2}+x^{2}yz}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$VT\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum x^{4}+\sum x^{2}y^{2}+xyz(x+y+z)}\geq 1$

[honglanfa157]

Đây nữa nhé

4.Cho a,b,c >0; abc=1.CM: $\sum \frac{1}{(a+1)(a+2)}\geq \frac{1}{2}$

5.Cho a,b,c > 0; 1/a+1/b+1/c=1.Chứng minh: $\sum \frac{b+c}{(a)^2}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglanfa157: 27-11-2017 - 22:25

[trieutuyennham]

5.Cho a,b,c > 0; 1/a+1/b+1/c=1.Chứng minh: $\sum \frac{b+c}{(a)^2}\geq 2$

$VT=\sum \frac{b+c}{a^{2}}\geq 2\sum \frac{1}{a}=2$

[honglanfa157]

$VT=\sum \frac{b+c}{a^{2}}\geq 2\sum \frac{1}{a}=2$

Tại sao $\sum \frac{b+c}{a^2}\geq 2\sum \frac{1}{a}$ vậy bạn

[trieutuyennham]

Tại sao $\sum \frac{b+c}{a^2}\geq 2\sum \frac{1}{a}$ vậy bạn

Ta có

$\frac{b}{a^{2}}+\frac{1}{b}+\frac{c}{b^{2}}+\frac{1}{c}+\frac{a}{c^{2}}+\frac{1}{a}\geq 2\sum \frac{1}{a}\Rightarrow \frac{b}{a^{2}}+\frac{c}{b^{2}}+\frac{a}{c^{2}}\geq \sum \frac{1}{a}$

tương tự cho cái còn lại cộng vào là xong 

[trieutuyennham]

Đây nữa nhé:

4.Cho a,b,c >0; abc=1.CM: $\sum \frac{1}{(a+1)(a+2)}\geq 1$

 

BĐT sai

[honglanfa157]

BĐT sai

Đã sửa rồi nhé

[honglanfa157]

Và đây:

6.Cho a,b,c >0; a+b+c=abc.CM $\sum \frac{b}{a\sqrt{b^2+1}}\geq \frac{3}{2}$

7.Cho a,b,c khác 1 ; abc=1.CM $\sum \frac{a^2}{(a-1)^2} \geq 1$

[Kiratran]

đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

có $xy+yz+xz=1$

$\sum \frac{x}{\sqrt{1+y^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\geq \sum \frac{2x}{x+2y+z}$

cs nữa là xong 

[kytrieu]

Đây nữa nhé

4.Cho a,b,c >0; abc=1.CM: $\sum \frac{1}{(a+1)(a+2)}\geq \frac{1}{2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{xy}{z^{2}}\\ b=\frac{yz}{x^{2}}\\ c=\frac{zx}{y^{2}} \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{4}}{(yz+x^{2})(yz+2x^{2})}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{4}+\sum x^{2}y^{2}+3xyz(x+y+z)}\geq \frac{(\sum x^{2})}{2\sum (x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}$

[minhducndc]

 Câu 7, Ta đặt  $(\frac{a}{a-1};\frac{b}{b-1};\frac{c}{c-1})= (x;y;z)$

Do $abc=1\Rightarrow \prod \frac{a}{a-1}= \prod \frac{1}{a-1}= (x-1)(y-1)(z-1)$

hay $xyz= (x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+zx+1$

Khi đó   $\sum \frac{a^{2}}{(a-1)^{2}}= x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)$

$= (x+y+z)^{2}-2(x+y+z-1)= (x+y+z)^{2}-2(x+y+z)+2\geq 1$

Q.E.D

            

 

[honglanfa157]

8.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác vuông.

Tìm Min S= $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$