Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c >0 ;abc=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 honglanfa157

honglanfa157

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình

Đã gửi 27-11-2017 - 21:00

1.Cho a,b,c >0 $abc=1$ chứng minh: $\sum \frac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}\geq 1$

2.Cho a,b,c >0 ;abc=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1$

3.Cho a,b,c,d >0, abcd=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}{(a+1)^2}\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglanfa157: 27-11-2017 - 21:08


#2 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 27-11-2017 - 21:14

 

2.Cho a,b,c >0 ;abc=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1$

 

Đây là BĐT Vasc

Cm:

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{yz}{x^{2}} & \\ b=\frac{zx}{y^{2}} & \\ c=\frac{xy}{z^{2}} & \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}z^{2}+x^{2}yz}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$VT\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum x^{4}+\sum x^{2}y^{2}+xyz(x+y+z)}\geq 1$


                                                                           Tôi là chính tôi


#3 honglanfa157

honglanfa157

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình

Đã gửi 27-11-2017 - 21:40

Đây nữa nhé

4.Cho a,b,c >0; abc=1.CM: $\sum \frac{1}{(a+1)(a+2)}\geq \frac{1}{2}$

5.Cho a,b,c > 0; 1/a+1/b+1/c=1.Chứng minh: $\sum \frac{b+c}{(a)^2}\geq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglanfa157: 27-11-2017 - 22:25


#4 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 27-11-2017 - 21:50

5.Cho a,b,c > 0; 1/a+1/b+1/c=1.Chứng minh: $\sum \frac{b+c}{(a)^2}\geq 2$

$VT=\sum \frac{b+c}{a^{2}}\geq 2\sum \frac{1}{a}=2$


                                                                           Tôi là chính tôi


#5 honglanfa157

honglanfa157

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình

Đã gửi 27-11-2017 - 22:05

$VT=\sum \frac{b+c}{a^{2}}\geq 2\sum \frac{1}{a}=2$

Tại sao $\sum \frac{b+c}{a^2}\geq 2\sum \frac{1}{a}$ vậy bạn



#6 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 27-11-2017 - 22:11

Tại sao $\sum \frac{b+c}{a^2}\geq 2\sum \frac{1}{a}$ vậy bạn

Ta có

$\frac{b}{a^{2}}+\frac{1}{b}+\frac{c}{b^{2}}+\frac{1}{c}+\frac{a}{c^{2}}+\frac{1}{a}\geq 2\sum \frac{1}{a}\Rightarrow \frac{b}{a^{2}}+\frac{c}{b^{2}}+\frac{a}{c^{2}}\geq \sum \frac{1}{a}$

tương tự cho cái còn lại cộng vào là xong  :D


                                                                           Tôi là chính tôi


#7 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 27-11-2017 - 22:21

Đây nữa nhé:

4.Cho a,b,c >0; abc=1.CM: $\sum \frac{1}{(a+1)(a+2)}\geq 1$

 

BĐT sai


                                                                           Tôi là chính tôi


#8 honglanfa157

honglanfa157

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình

Đã gửi 27-11-2017 - 22:23

BĐT sai

Đã sửa rồi nhé



#9 honglanfa157

honglanfa157

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình

Đã gửi 27-11-2017 - 22:27

Và đây:

6.Cho a,b,c >0; a+b+c=abc.CM $\sum \frac{b}{a\sqrt{b^2+1}}\geq \frac{3}{2}$

7.Cho a,b,c khác 1 ; abc=1.CM $\sum \frac{a^2}{(a-1)^2} \geq 1$



#10 Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{Phú Thọ}}$
  • Sở thích:Coffee

Đã gửi 27-11-2017 - 22:39

đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

có $xy+yz+xz=1$

$\sum \frac{x}{\sqrt{1+y^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\geq \sum \frac{2x}{x+2y+z}$

cs nữa là xong 


Duyên do trời làm vương vấn một đời.


#11 kytrieu

kytrieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:phú thọ
  • Sở thích:tôi thích toán đại

Đã gửi 28-11-2017 - 12:29

Đây nữa nhé

4.Cho a,b,c >0; abc=1.CM: $\sum \frac{1}{(a+1)(a+2)}\geq \frac{1}{2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{xy}{z^{2}}\\ b=\frac{yz}{x^{2}}\\ c=\frac{zx}{y^{2}} \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{4}}{(yz+x^{2})(yz+2x^{2})}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{4}+\sum x^{2}y^{2}+3xyz(x+y+z)}\geq \frac{(\sum x^{2})}{2\sum (x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}$


                                                                         $\sqrt{VMF}$

                                                                 

                                                


#12 minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:chưa tìm thấy

Đã gửi 28-11-2017 - 17:43

 Câu 7, Ta đặt  $(\frac{a}{a-1};\frac{b}{b-1};\frac{c}{c-1})= (x;y;z)$

Do $abc=1\Rightarrow \prod \frac{a}{a-1}= \prod \frac{1}{a-1}= (x-1)(y-1)(z-1)$

hay $xyz= (x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+zx+1$

Khi đó   $\sum \frac{a^{2}}{(a-1)^{2}}= x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)$

$= (x+y+z)^{2}-2(x+y+z-1)= (x+y+z)^{2}-2(x+y+z)+2\geq 1$

Q.E.D

            

 


Đặng Minh Đức CTBer


#13 honglanfa157

honglanfa157

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thế kỉ 22
  • Sở thích:Toán Hình

Đã gửi 28-11-2017 - 21:10

8.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác vuông.

Tìm Min S= $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$



#14 Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 13-08-2019 - 16:28

Hời lười Latex  :closedeyes:

53563589_397493397477903_484033641927042


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 13-08-2019 - 16:29

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh