Chủ đề này có 10 trả lời

[haptrung]

Có 5 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 10 xếp một hàng ngang. Tính xác suất để không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

[dottoantap]

Có 5 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 10 xếp một hàng ngang. Tính xác suất để không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

Số cách xếp hs lớp 11 và 12: có $2.5!.5!$ cách

Giữa và hai đầu hàng của 10 hs này có 11 khoảng trống, xếp 6 hs lớp 10 vào: có $A(11,6)$ cách

XS cần tìm:

$2.5!.5!.A(11,6)/16!=$

[NTL2k1]

Số cách xếp hs lớp 11 và 12: có $2.5!.5!$ cách

Giữa và hai đầu hàng của 10 hs này có 11 khoảng trống, xếp 6 hs lớp 10 vào: có $A(11,6)$ cách

XS cần tìm:

$2.5!.5!.A(11,6)/16!=$

Tại sao không phải như thế này ạ ?

Số cách xếp hs lớp 11 và 10: có $2.5!.6!$ cách

Giữa và hai đầu hàng của 11 hs này có 12 khoảng trống, xếp 5 hs lớp 12 vào: có $A(12,5)$ cách

XS cần tìm:

$2.5!.6!.A(12,5)/16!=$

[haptrung]

Cách thứ nhất thiếu trường hợp 2 học sinh 10 và 11 xen kẽ nhau.

Cách thứ hai còn một chút băn khoăn: Nếu ta xếp 5 học sinh khối 10 trước và sau đó xếp 6 học sinh khối 12 và cuối cùng mới xếp học sinh 11 thì kết quả lại ra khác. 

Ai có thể lý giải hộ.

 

[hxthanh]

Đánh dấu bài này cho @Nobodyv3 vào giải quyết!

[Nobodyv3]

Có 5 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 10 xếp một hàng ngang. Tính xác suất để không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

Thầy @hxthanh đã gọi em lên bảng. Dạ, cung kính không bằng tuân lệnh!

Nhận xét :
Lời giải 1: đếm luôn trường hợp 2 bạn lớp 11 hoặc 2 bạn lớp 12 kề nhau, tùy theo khối nào xếp trước (nếu xếp 5 bạn lớp 11 trước thì sẽ có trường hợp 2 bạn lớp 11 kề nhau ).

Lời giải 2:
- "gần đúng hơn ".
- Ta không thể xếp 6 học sinh khối 10 trước và sau đó xếp 5 học sinh khối 12 : vì có 7 khoảng trống mà chỉ xếp vào 5 bạn nên còn 2 khoảng trống do đó sẽ có 3 bạn lớp 10 kề nhau.

Sau đây là lời giải đề nghị :
Số cách xếp hs lớp 11(hoặc lớp 12): $5!$
Xếp 6 hs lớp 10 vào 6 khoảng trống: $6!$
Lúc này có 12 khoảng trống, xếp 5 hs lớp 12 (hoặc lớp 11) vào :$A_{12}^5$
Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu là :$5!6!A_{12}^5.$
=========
Trên tinh thần “đúng nhận sai cãi" , ý quên " “đúng nhận sai vứt ": bài này, em xin phép drag and drop into Recycle Bin.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 08-04-2023 - 06:28

[hxthanh]

…
Sau đây là lời giải đề nghị :
Số cách xếp hs lớp 11(hoặc lớp 12): $5!$
Xếp 6 hs lớp 10 vào 6 khoảng trống: $6!$
Lúc này có 12 khoảng trống, xếp 5 hs lớp 12 (hoặc lớp 11) vào :$A_{12}^5$
Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu là :$5!6!A_{12}^5.$

Vẫn có gì đó sai sai.
Thử nghĩ xem, vẫn có thể đổi chỗ một vài hs lớp 12 với lớp 11 trong cách xếp trên mà vẫn thoả mãn?

[Nobodyv3]

Vẫn có gì đó sai sai.
Thử nghĩ xem, vẫn có thể đổi chỗ một vài hs lớp 12 với lớp 11 trong cách xếp trên mà vẫn thoả mãn?

Để em nhờ anh @chanhquocnghiem check lại bằng cách tiếp cận khác : Laguerre polynomials, Carlitz words... chẳng hạn.

[hxthanh]

Có thể phải dùng cách làm ở:
bài toán này mới xong!

[chanhquocnghiem]

Có 5 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 10 xếp một hàng ngang. Tính xác suất để không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

Trước hết ta tính xem có bao nhiêu cách xếp $5$ ghế đỏ, $5$ ghế xanh và $6$ ghế vàng thành một hàng ngang sao cho không có $2$ ghế nào cùng màu ở cạnh nhau (các ghế cùng màu thì giống nhau).

Ta có hàm sinh :

$f(x)=\left [ \frac{x^5}{5!}-\binom{4}{1}\frac{x^4}{4!}+\binom{4}{2}\frac{x^3}{3!}-\binom{4}{3}\frac{x^2}{2!}+\frac{x}{1!} \right ]^2\times$

$\times\left [ \frac{x^6}{6!}-\binom{5}{1}\frac{x^5}{5!}+\binom{5}{2}\frac{x^4}{4!}-\binom{5}{3}\frac{x^3}{3!}+\binom{5}{4}\frac{x^2}{2!}-\frac{x}{1!} \right ]$

$=\left ( \frac{x^5}{120}-\frac{x^4}{6}+x^3-2x^2+x \right )^2\left ( \frac{x^6}{720}-\frac{x^5}{24}+\frac{5x^4}{12}-\frac{5x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-x \right )$

Số cách xếp ghế thỏa mãn là $M=\int_{0}^{\infty}e^{-x}f(x)dx=11492$ cách.

+ Xếp $5$ hs lớp 12 vào $5$ ghế đỏ, $5$ hs lớp 11 vào $5$ ghế xanh và $6$ hs lớp 10 vào $6$ ghế vàng : Có $6!(5!)^2$ cách

+ Xếp $5$ hs lớp 12 vào $5$ ghế xanh, $5$ hs lớp 11 vào $5$ ghế đỏ và $6$ hs lớp 10 vào $6$ ghế vàng : Có $6!(5!)^2$ cách

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là $N=2.6!(5!)^2M=238298112000$ cách.

Xác suất cần tính là $\frac{N}{16!}\approx 0,011389$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-04-2023 - 21:03

[Nobodyv3]

Xét bài toán : Có bao nhiêu cách xếp các chữ cái $a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,c,c,c,c,c,c$ sao cho không chữ cái nào giống nhau chiếm 2 vị trí liên tiếp. Ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
\displaystyle f(x)&=\left [ \frac{x^5}{5!}-\binom{4}{1}\frac{x^4}{4!}+\binom{4}{2}\frac{x^3}{3!}-\binom{4}{3}\frac{x^2}{2!}+\frac{x}{1!} \right ]^2\\
&\times\displaystyle \left [ \frac{x^6}{6!}-\binom{5}{1}\frac{x^5}{5!}+\binom{5}{2}\frac{x^4}{4!}-\binom{5}{3}\frac{x^3}{3!}+\binom{5}{4}\frac{x^2}{2!}-\frac{x}{1!} \right ]
\end{align*}$$
Thay các $x^k$ trong khai triển của $f(x) $ bằng $k!$ ta được:
$$\begin{align*}
\sum_{k=3}^{16}k![x^k]f(x)=&-6+156-2120+19020-122094+583240-2114784\\
&+5861520-12375132+19609128-22630608\\
&+17993976-8828820+2018016=11492
\end{align*}$$
Trở lại bài toán gốc, lớp có 5 bạn có 2 cách chọn chữ cái đại diện (a hoặc b) nên ta có số cách xếp thỏa yêu cầu là :
$$2\cdot 6! \cdot (5!)^2\cdot 11492=
238298112000$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 07-04-2023 - 23:20