Đến nội dung

Hình ảnh

Tích phân suy rộng phức tạp

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
gywreb

gywreb

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Cho$\int_{\frac{1}{e}}^{tanx }\frac{tdt}{1+t^{2}}+\int_{\frac{1}{e}}^{cotx}\frac{dt}{t(1+t^{2})}\, \,\; \; \; \; \; x\, \epsilon\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

 

a.   Chứng minh I(x)  là hằng số.

b.   Tính I(x)  .

 

giúp em với ạ, xin cảm ơn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gywreb: 28-11-2017 - 17:43


#2
nthkhnimqt

nthkhnimqt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Ta có

\[I\left( x \right) = \int_{{e^{ - 1}}}^{\tan x} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  + \int_{{e^{ - 1}}}^{\cot x} {\frac{{{\text{d}}t}}{{t\left( {{t^2} + 1} \right)}}}  = {I_1}\left( x \right) + {I_2}\left( x \right)\]

Trong tích phân $I_2$ đổi biến $t = \frac{1}{x}$ ta sẽ có

\[I\left( x \right) = \int_{{e^{ - 1}}}^{\tan x} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  + \int_{\tan x}^e {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  = \int_{{e^{ - 1}}}^e {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  = \arctan e - \arctan {e^{ - 1}}\]

Vậy ta chứng minh xong.


Cần lắm một bờ vai nương tựa


#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Ta có

\[I\left( x \right) = \int_{{e^{ - 1}}}^{\tan x} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  + \int_{{e^{ - 1}}}^{\cot x} {\frac{{{\text{d}}t}}{{t\left( {{t^2} + 1} \right)}}}  = {I_1}\left( x \right) + {I_2}\left( x \right)\]

Trong tích phân $I_2$ đổi biến $t = \frac{1}{x}$ ta sẽ có

\[I\left( x \right) = \int_{{e^{ - 1}}}^{\tan x} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  + \int_{\tan x}^e {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  = \int_{{e^{ - 1}}}^e {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  = \arctan e - \arctan {e^{ - 1}}\]

Vậy ta chứng minh xong.

 

Có phải đoạn cuối tính nhầm không nhỉ?


Đời người là một hành trình...


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Ta có

\[I\left( x \right) = \int_{{e^{ - 1}}}^{\tan x} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  + \int_{{e^{ - 1}}}^{\cot x} {\frac{{{\text{d}}t}}{{t\left( {{t^2} + 1} \right)}}}  = {I_1}\left( x \right) + {I_2}\left( x \right)\]

Trong tích phân $I_2$ đổi biến $t = \frac{1}{x}$ ta sẽ có

\[I\left( x \right) = \int_{{e^{ - 1}}}^{\tan x} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  + \int_{\tan x}^e {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  = \int_{{e^{ - 1}}}^e {\frac{t}{{{t^2} + 1}}{\text{d}}t}  = \arctan e - \arctan {e^{ - 1}}\]

Vậy ta chứng minh xong.

$\int _{e^{-1}}^e\frac{t}{t^2+1}\ dt=\frac{1}{2}\ln(t^2+1)\Bigg|_{e^{-1}}^e=\frac{1}{2}\left [ \ln(1+e^2)-\ln(1+e^{-2})\right ]=\frac{1}{2}\ln(e^2)=1$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
nthkhnimqt

nthkhnimqt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Có phải đoạn cuối tính nhầm không nhỉ?

À mình tính nhầm.


Cần lắm một bờ vai nương tựa





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh