ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2017
Ngày thi thứ nhất
Bài 1: Cho hàm $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $ | f(x+y)-f(x)-f(y)| \le 1$ $ \forall x, y \in \mathbb{R}$.
Chứng minh rằng tồn tại hàm cộng tính $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $|f(x)-g(x)| \le 1 \forall x \in \mathbb{R}$.
(Hàm số g: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được gọi là hàm cộng tính nếu với mọi số thực $x, y $ ta có $ g(x+y)=g(x)+g(y)$.)
Bài 2: Cho $a_1, a_2,..., a_n$ là các số thực và $ 1\ge b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \ge 0$.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $ k \le n $ sao cho
$ |a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n| \le |a_1+a_2+...+a_k| $
Bài 3: Cho tam giác $ ABC $ có $ \widehat{BAC}$ tù. Lấy điểm $D$ trên tia phân giác của $ \widehat{BAC}$ sao cho $\widehat{BDC}=90^0.$ Đường thẳng qua $ A $ vuông góc với $ AD $ cắt $ BD, CD $ lần lượt tại $E, F$. Đường thẳng $AB$ cắt $ (ADF) $ tại $ I \ne A $. Đường thẳng $ AC $ cắt $ (ADE)$ tại $ J \ne A $. Đường thẳng $IC$ cắt đường tròn $(ADF)$ tại điểm thứ hai $H$, đường thẳng $JB$ cắt $ (ADE) $ tại điểm thứ hai $ K $.
a) Chứng minh rằng $ H, D, K $ thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng $ BK.CI=BJ.CH $.
Bài 4: Cho $m, n \in \mathbb{Z}^+$ và một bảng có kích thước $m \times n$ gồm $m \times n$ ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông có không quá một con bọ. Biết rằng với mỗi số nguyên dương $k$ thuộc tập hợp $\left\{1,2,...,78 \right\}$ thì tồn tại một hàng hoặc một cột trong bảng có đúng $k$ con bọ.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $m+n$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của số con bọ trên bảng đã cho.
Ngày thi thứ hai
Bài 5: Tìm số nguyên dương $t$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên dương $ k $, số nguyên tố $ p $ để $ t.p^k+1 $ là lũy thừa bậc $ 6 $ của một số nguyên.
Bài 6: Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $ (O) $. Gọi $ D,E,F $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ BC, CA, AB $. Tiếp tuyến tại $ B $ của $ (O) $ cắt đường thẳng $ DF $ tại $ K $, tiếp tuyến tại $ C $ của $ (O) $ cắt đường thẳng $ DE $ tại $ L $. Đường tròn đường kính $ OK $ cắt $ (O) $ tại điểm thứ hai là $ S $ khác $ B $, đường tròn đường kính $ (OL) $ cắt $ (O) $ tại điểm thứ hai khác $ C $ là $ T $.
a) Chứng minh rằng các đường phân giác trong $ \widehat{ASC} $ và phân giác trong $ \widehat{ABC} $ cắt nhau trên đường thẳng $ FD $.
b) Gọi $ U $ là giao điểm của $ BS $ và $ CT $. Tia $ AU $ cắt lại $ (O) $ tại điểm $ V \ne A$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ EFV $ tiếp xúc với $ (O) $.
Bài 7: Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $ m_0 \ge 2 $ sao cho: với mọi số nguyên $ m \ge m_0 $, có vô hạn số nguyên dương $ n $ để $ [n\sqrt[m]{p}] $ là lũy thừa đúng của $ p $.
• $ [x] $ là ký hiệu phần nguyên của $ x $, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $ x $.
• Nếu $ k $ là một số nguyên dương thì $ p^k $ là một lũy thừa đúng của $ p $.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 01-12-2017 - 20:04
