Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 419 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 01-12-2017 - 12:00

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2017

Ngày thi thứ nhất 

 

 

Bài 1: Cho hàm $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $ | f(x+y)-f(x)-f(y)| \le 1$ $ \forall x, y \in \mathbb{R}$.

Chứng minh rằng tồn tại hàm cộng tính $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $|f(x)-g(x)| \le 1   \forall x \in \mathbb{R}$.

(Hàm số g: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được gọi hàm cộng tính nếu với mọi số thực $x, y $ ta $ g(x+y)=g(x)+g(y)$.)

 

Bài 2: Cho $a_1, a_2,..., a_n$ các số thực $ 1\ge b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \ge 0$.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $ k \le n $ sao cho

$ |a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n| \le |a_1+a_2+...+a_k| $

 

Bài 3: Cho tam giác $ ABC $ $ \widehat{BAC}$ . Lấy điểm $D$ trên tia phân giác của $ \widehat{BAC}$ sao cho $\widehat{BDC}=90^0.$ Đường thẳng qua $ A $ vuông góc với $ AD $ cắt $ BD, CD $ lần lượt tại $E, F$. Đường thẳng $AB$ cắt $ (ADF) $ tại $ I \ne A $. Đường thẳng $ AC $ cắt $ (ADE)$ tại $ J \ne A $. Đường thẳng $IC$ cắt đường tròn $(ADF)$ tại điểm thứ hai $H$, đường thẳng $JB$ cắt $ (ADE) $ tại điểm thứ hai $ K $.

a) Chứng minh rằng $ H, D, K $ thẳng hàng.

 

b) Chứng minh rằng $ BK.CI=BJ.CH $.

Bài 4: Cho $m, n \in \mathbb{Z}^+$ một bảng kích thước $m \times n$ gồm $m \times n$ ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông không quá một con bọ. Biết rằng với mỗi số nguyên dương $k$ thuộc tập hợp $\left\{1,2,...,78 \right\}$ thì tồn tại một hàng hoặc một cột trong bảng đúng $k$ con bọ.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất thể của $m+n$.

 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất thể của số con bọ trên bảng đã cho.

 

Ngày thi thứ hai

Bài 5: Tìm số nguyên dương $t$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên dương $ k $, số nguyên tố $ p $ để $ t.p^k+1 $ lũy thừa bậc $ 6 $ của một số nguyên.

 

Bài 6: Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $ (O) $. Gọi $ D,E,F $ lần lượt trung điểm các cạnh $ BC, CA, AB $. Tiếp tuyến tại $ B $ của $ (O) $ cắt đường thẳng $ DF $ tại $ K $, tiếp tuyến tại $ C $ của $ (O) $ cắt đường thẳng $ DE $ tại $ L $. Đường tròn đường kính $ OK $ cắt $ (O) $ tại điểm thứ hai $ S $ khác $ B $, đường tròn đường kính $ (OL) $ cắt $ (O) $ tại điểm thứ hai khác $ C $ $ T $.

a) Chứng minh rằng các đường phân giác trong $ \widehat{ASC} $ phân giác trong $ \widehat{ABC} $ cắt nhau trên đường thẳng $ FD $.

 

b) Gọi $ U $ giao điểm của $ BS $ $ CT $. Tia $ AU $ cắt lại $ (O) $ tại điểm $ V \ne A$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ EFV $ tiếp xúc với $ (O) $.

 

Bài 7: Cho $p$ một số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $ m_0 \ge 2 $ sao cho: với mọi số nguyên $ m \ge m_0 $, hạn số nguyên dương $ n $ để $ [n\sqrt[m]{p}] $ lũy thừa đúng của $ p $.

 • $ [x] $ hiệu phần nguyên của $ x $, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $ x $.

Nếu $ k $ một số nguyên dương thì $ p^k $ một lũy thừa đúng của $ p $.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 01-12-2017 - 20:04


#2 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-12-2017 - 16:05

Bài 1 : 

Bổ đề: $|f(x+y)-f(x)-f(y)| \geq 1$ thì ta có $| \frac{f(x)}{x}- \frac{f(y)}{y}|< \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 19-12-2017 - 14:08


#3 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-12-2017 - 16:10

Bài 4 :

Giá trị nhỏ nhất của $a+b$ là $117,$ dấu bằng xảy ra ở hình chữ nhật $78 \times 39$ với cách tô ở cột $i$ thì cho $79-i$ con bọ. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 19-12-2017 - 14:10


#4 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 01-12-2017 - 19:19

Bài 5: Số nguyên dương $k$ có liên quan gì đến bài toán ?


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#5 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 267 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{10T1 THPT Chuyên}$ $\boxed{\text{ LHP - Nam Định}}$
  • Sở thích:một đứa nghiện tổ hợp

Đã gửi 01-12-2017 - 20:16

Bài 5: Số nguyên dương $k$ có liên quan gì đến bài toán ?

À; đoạn sau là giới thiệu định nghĩa về lũy thừa đúng là gì nên nó không liên quan đến bài toán đâu

P/s: mình thấy đoạn đấy hơi thừa


SPAM

#6 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 01-12-2017 - 21:16

Bài 3 :Ta có bài toán sau: Cho $(O)$, cát tuyến $BAI(A,I \in (O))$, tiếp tuyến $BD$. $DO$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $F$. Lấy điểm $C$ bất kì thuộc $DF$ sao cho $\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$, $IC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $H$. CMR: $FA=FH$.

Vì $\widehat{CAD}=\widehat{BAD} \Rightarrow \widehat{IAF}=\widehat{CAF}\Rightarrow \widehat{CHF}$ $=\widehat{CAF}$

Gọi $I'$ là giao điểm của $AC$ và $(O)(I' \neq A)$ suy ra $I'F=IF$ dẫn đến $\Delta FI'C=\Delta FIC\Rightarrow CI=CI'$, lại có $P_{C/(O)}=\overline{CI}.\overline{CH}=\overline{CI'}.\overline{CA}\Rightarrow CI.CH=CI'.CA\Rightarrow CH=CA$ $\Rightarrow$ ĐPCM.

a,Trở lại với bài toán:

Dễ có: $AF=FH$ suy ra $\widehat{HDF}=\widehat{FDA}$

Tương tự, ta cũng có $\widehat{KDE}=\widehat{ADE}$ lại có $\widehat{ADE}+\widehat{FDA}=90^{\circ}$ nên ta có ĐPCM.

b, Dễ thấy $DE,DF$ lần lượt là các tiếp tuyến của $(ADF),(ADE)$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} \widehat{BKE}=\widehat{EAJ}=\widehat{CAF}=\widehat{FHI}\\ \widehat{FIH}=\widehat{FDH}=\widehat{FDA}=\widehat{AED}=\widehat{BEK} \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta FHI $~$ \Delta BKE \Rightarrow \frac{KB}{KE}=\frac{HF}{HI}$

Tương tự,qua biến đổi góc, ta cũng có:$\Delta FHC $~$ \Delta EKJ$ $\Rightarrow \frac{HC}{HF}=\frac{KE}{KJ}$

Đặt $HC=a, HI=b,KB=c,KJ=d,HF=e,KE=f$ ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} \frac{c}{f}=\frac{e}{b}\\ \frac{a}{e}=\frac{f}{d} \end{matrix}\right. \Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} bc=ef\\ ad=ef \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{HC}{HI}=\frac{KB}{KJ}\Rightarrow$ ĐPCM.

Hình gửi kèm

  • baitoan.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 03-12-2017 - 16:40

Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#7 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 03-12-2017 - 20:24

Bài hình 6 có lỗi không bạn :D


Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#8 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 419 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 03-12-2017 - 21:04

Bài hình 6 có lỗi không bạn :D

mình kiểm tra rồi, không có lỗi.



#9 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-12-2017 - 22:19

Thật ra số con bọ min là $38+39+40+.....+79-36^2$ nhưng việc đó để mọi người làm sẽ hay hơn =)))))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 19-12-2017 - 14:11


#10 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 06-12-2017 - 11:24

Bài 6.

a. Dùng hai kết quả sau:

1. Cho tam giác $ABC$ với $M, N$ thuộc $BC$. Khi đó $(AMN)$ tiếp xúc với $(ABC)$ khi và chỉ khi $\angle MAN$ và $\angle BAC$ có chung phân giác.

2. Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, $T$ thuộc $BC$. Khi đó $AT=TD$ khi và chỉ khi $AT$ tiếp xúc với $(ABC)$

b. Bổ đề. Cho $(O)$ và hai điểm $A, B$ nằm ngoài nó. Qua $A, B$ kẻ các tiếp tuyến $AC, AD, BE, BF$. $CD$ cắt $EF$ tại $G$. Lúc này $OG\perp AB$ tại $H$ thỏa $OG.OH=R^2$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-12-2017 - 18:26

Bài 6.

a. Dùng hai kết quả sau:

1. Cho tam giác $ABC$ với $M, N$ thuộc $BC$. Khi đó $(AMN)$ tiếp xúc với $(ABC)$ khi và chỉ khi $\angle MAN$ và $\angle BAC$ có chung phân giác.

2. Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, $T$ thuộc $BC$. Khi đó $AT=TD$ khi và chỉ khi $AT$ tiếp xúc với $(ABC)$

b. Bổ đề. Cho $(O)$ và hai điểm $A, B$ nằm ngoài nó. Qua $A, B$ kẻ các tiếp tuyến $AC, AD, BE, BF$. $CD$ cắt $EF$ tại $G$. Lúc này $OG\perp AB$ tại $H$ thỏa $OG.OH=R^2$

Bổ đề này chứng minh thế nào anh? Nó đã xuất hiện ở những bài toán nào ? Sách nào ?



#12 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 06-12-2017 - 19:23

Bổ đề này chứng minh thế nào anh? Nó đã xuất hiện ở những bài toán nào ? Sách nào ?

 

Bổ đề này là một định phần để chứng minh định lý về cực và đối cực: Cho đường tròn $(O)$ và ba điểm $A, B, C$ phân biệt. Khi đó $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi đối cực của $A, B, C$ đồng quy hoặc đôi một song song.

 

Chứng minh. 

Gọi $M, N$ là trung điểm $CD, EF$, khi đó $OM.OA = R^2 = ON.OB$ nên $MNBA$ nội tiếp.

Từ đó $\angle GOM= 90^o-\angle OGM = 90^o-\angle ONM = 90^o-\angle OAB$ nên $OG\perp AB$ và dễ có $OG.OH=OM.OA=R^2$

 

Trở lại bài toán, ta dựng tương tự $BC$, tiếp tuyến tại $A$ của $(ABC)$ cắt $EF$ tại $W$ thì $W, K, L$ thẳng hàng do trục đẳng phương của đường tròn Euler và $(ABC)$. Kẻ tiếp tuyến khác $WA$ đến $(O)$ là $WV'$

Từ đó áp dụng bổ đề ra suy ra $BS, CT, AV'$ đồng quy tại điểm $G$ thỏa $OG=\dfrac{R^2}{d(O, KL)}$ nên ta có $V\equiv V'$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#13 dungxibo123

dungxibo123

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 278 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:Fifa Online 3 và môn Toán

Đã gửi 18-12-2017 - 18:45

có ai có đáp án gốc không ạ. em cảm ơn

myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#14 modlitbon

modlitbon

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 22-12-2017 - 16:40

có ai có đáp án gốc không ạ. em cảm ơn

 

dành cho những bạn nào cần http://www.molympiad...bel/Trường Đông



#15 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-01-2018 - 19:39

File word cho những ai quan tâm ( không có hình ) ( mình không có giải hình ) 

File gửi kèm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh