Đến nội dung


Hình ảnh

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 01-12-2017 - 12:00

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN PHỔ THÔNG KHU VỰC BẮC TRUNG BỘ NĂM 2017

Ngày thi thứ nhất 

 

 

Bài 1: Cho hàm $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $ | f(x+y)-f(x)-f(y)| \le 1$ $ \forall x, y \in \mathbb{R}$.

Chứng minh rằng tồn tại hàm cộng tính $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn $|f(x)-g(x)| \le 1   \forall x \in \mathbb{R}$.

(Hàm số g: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được gọi hàm cộng tính nếu với mọi số thực $x, y $ ta $ g(x+y)=g(x)+g(y)$.)

 

Bài 2: Cho $a_1, a_2,..., a_n$ các số thực $ 1\ge b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \ge 0$.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $ k \le n $ sao cho

$ |a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n| \le |a_1+a_2+...+a_k| $

 

Bài 3: Cho tam giác $ ABC $ $ \widehat{BAC}$ . Lấy điểm $D$ trên tia phân giác của $ \widehat{BAC}$ sao cho $\widehat{BDC}=90^0.$ Đường thẳng qua $ A $ vuông góc với $ AD $ cắt $ BD, CD $ lần lượt tại $E, F$. Đường thẳng $AB$ cắt $ (ADF) $ tại $ I \ne A $. Đường thẳng $ AC $ cắt $ (ADE)$ tại $ J \ne A $. Đường thẳng $IC$ cắt đường tròn $(ADF)$ tại điểm thứ hai $H$, đường thẳng $JB$ cắt $ (ADE) $ tại điểm thứ hai $ K $.

a) Chứng minh rằng $ H, D, K $ thẳng hàng.

 

b) Chứng minh rằng $ BK.CI=BJ.CH $.

Bài 4: Cho $m, n \in \mathbb{Z}^+$ một bảng kích thước $m \times n$ gồm $m \times n$ ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông không quá một con bọ. Biết rằng với mỗi số nguyên dương $k$ thuộc tập hợp $\left\{1,2,...,78 \right\}$ thì tồn tại một hàng hoặc một cột trong bảng đúng $k$ con bọ.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất thể của $m+n$.

 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất thể của số con bọ trên bảng đã cho.

 

Ngày thi thứ hai

Bài 5: Tìm số nguyên dương $t$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên dương $ k $, số nguyên tố $ p $ để $ t.p^k+1 $ lũy thừa bậc $ 6 $ của một số nguyên.

 

Bài 6: Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $ (O) $. Gọi $ D,E,F $ lần lượt trung điểm các cạnh $ BC, CA, AB $. Tiếp tuyến tại $ B $ của $ (O) $ cắt đường thẳng $ DF $ tại $ K $, tiếp tuyến tại $ C $ của $ (O) $ cắt đường thẳng $ DE $ tại $ L $. Đường tròn đường kính $ OK $ cắt $ (O) $ tại điểm thứ hai $ S $ khác $ B $, đường tròn đường kính $ (OL) $ cắt $ (O) $ tại điểm thứ hai khác $ C $ $ T $.

a) Chứng minh rằng các đường phân giác trong $ \widehat{ASC} $ phân giác trong $ \widehat{ABC} $ cắt nhau trên đường thẳng $ FD $.

 

b) Gọi $ U $ giao điểm của $ BS $ $ CT $. Tia $ AU $ cắt lại $ (O) $ tại điểm $ V \ne A$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ EFV $ tiếp xúc với $ (O) $.

 

Bài 7: Cho $p$ một số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $ m_0 \ge 2 $ sao cho: với mọi số nguyên $ m \ge m_0 $, hạn số nguyên dương $ n $ để $ [n\sqrt[m]{p}] $ lũy thừa đúng của $ p $.

 • $ [x] $ hiệu phần nguyên của $ x $, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $ x $.

Nếu $ k $ một số nguyên dương thì $ p^k $ một lũy thừa đúng của $ p $.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 01-12-2017 - 20:04


#2 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-12-2017 - 16:05

Bài 1 : 

 

Bổ đề $ |${f(x+y)-f(x)-f(y)}$| <=1$ thì ta có $ |{f(x)/x-f(y)/y}| $ < ${1/x+1/y} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 01-12-2017 - 16:07


#3 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-12-2017 - 16:10

Bài 4 : Min $a+b$= 117.

 

Dấu bằng xảy ra ở hình chữ nhật $78*39$ với cách tô ở cột i thì cho 79-i con bọ 



#4 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 01-12-2017 - 19:19

Bài 5: Số nguyên dương $k$ có liên quan gì đến bài toán ?


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#5 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{10T1 THPT Chuyên}$ $\boxed{\text{ LHP - Nam Định}}$
  • Sở thích:$\text{~Graph~}$

Đã gửi 01-12-2017 - 20:16

Bài 5: Số nguyên dương $k$ có liên quan gì đến bài toán ?

À; đoạn sau là giới thiệu định nghĩa về lũy thừa đúng là gì nên nó không liên quan đến bài toán đâu

P/s: mình thấy đoạn đấy hơi thừa


SPAM

#6 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 01-12-2017 - 21:16

Bài 3 :Ta có bài toán sau: Cho $(O)$, cát tuyến $BAI(A,I \in (O))$, tiếp tuyến $BD$. $DO$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $F$. Lấy điểm $C$ bất kì thuộc $DF$ sao cho $\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$, $IC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $H$. CMR: $FA=FH$.

Vì $\widehat{CAD}=\widehat{BAD} \Rightarrow \widehat{IAF}=\widehat{CAF}\Rightarrow \widehat{CHF}$ $=\widehat{CAF}$

Gọi $I'$ là giao điểm của $AC$ và $(O)(I' \neq A)$ suy ra $I'F=IF$ dẫn đến $\Delta FI'C=\Delta FIC\Rightarrow CI=CI'$, lại có $P_{C/(O)}=\overline{CI}.\overline{CH}=\overline{CI'}.\overline{CA}\Rightarrow CI.CH=CI'.CA\Rightarrow CH=CA$ $\Rightarrow$ ĐPCM.

a,Trở lại với bài toán:

Dễ có: $AF=FH$ suy ra $\widehat{HDF}=\widehat{FDA}$

Tương tự, ta cũng có $\widehat{KDE}=\widehat{ADE}$ lại có $\widehat{ADE}+\widehat{FDA}=90^{\circ}$ nên ta có ĐPCM.

b, Dễ thấy $DE,DF$ lần lượt là các tiếp tuyến của $(ADF),(ADE)$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} \widehat{BKE}=\widehat{EAJ}=\widehat{CAF}=\widehat{FHI}\\ \widehat{FIH}=\widehat{FDH}=\widehat{FDA}=\widehat{AED}=\widehat{BEK} \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta FHI $~$ \Delta BKE \Rightarrow \frac{KB}{KE}=\frac{HF}{HI}$

Tương tự,qua biến đổi góc, ta cũng có:$\Delta FHC $~$ \Delta EKJ$ $\Rightarrow \frac{HC}{HF}=\frac{KE}{KJ}$

Đặt $HC=a, HI=b,KB=c,KJ=d,HF=e,KE=f$ ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} \frac{c}{f}=\frac{e}{b}\\ \frac{a}{e}=\frac{f}{d} \end{matrix}\right. \Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} bc=ef\\ ad=ef \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{HC}{HI}=\frac{KB}{KJ}\Rightarrow$ ĐPCM.

Hình gửi kèm

  • baitoan.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 03-12-2017 - 16:40

Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#7 kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bên kia Ngân Hà
  • Sở thích:play soccer,inequality

Đã gửi 02-12-2017 - 19:16

Bài 4 : Min $a+b$= 117.

 

Dấu bằng xảy ra ở hình chữ nhật $78*39$ với cách tô ở cột i thì cho 79-i con bọ

Làm ơn full giùm em ạ!

Em cảm ơn trước 



#8 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 03-12-2017 - 20:24

Bài hình 6 có lỗi không bạn :D


Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#9 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 03-12-2017 - 21:04

Bài hình 6 có lỗi không bạn :D

mình kiểm tra rồi, không có lỗi.



#10 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-12-2017 - 22:19

Thật ra số con bọ min là 38+39+40+.....+79-36^2 nhưng việc đó để mọi người làm sẽ hay hơn =)))))

#11 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 06-12-2017 - 11:24

Bài 6.

a. Dùng hai kết quả sau:

1. Cho tam giác $ABC$ với $M, N$ thuộc $BC$. Khi đó $(AMN)$ tiếp xúc với $(ABC)$ khi và chỉ khi $\angle MAN$ và $\angle BAC$ có chung phân giác.

2. Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, $T$ thuộc $BC$. Khi đó $AT=TD$ khi và chỉ khi $AT$ tiếp xúc với $(ABC)$

b. Bổ đề. Cho $(O)$ và hai điểm $A, B$ nằm ngoài nó. Qua $A, B$ kẻ các tiếp tuyến $AC, AD, BE, BF$. $CD$ cắt $EF$ tại $G$. Lúc này $OG\perp AB$ tại $H$ thỏa $OG.OH=R^2$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#12 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-12-2017 - 18:26

Bài 6.

a. Dùng hai kết quả sau:

1. Cho tam giác $ABC$ với $M, N$ thuộc $BC$. Khi đó $(AMN)$ tiếp xúc với $(ABC)$ khi và chỉ khi $\angle MAN$ và $\angle BAC$ có chung phân giác.

2. Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, $T$ thuộc $BC$. Khi đó $AT=TD$ khi và chỉ khi $AT$ tiếp xúc với $(ABC)$

b. Bổ đề. Cho $(O)$ và hai điểm $A, B$ nằm ngoài nó. Qua $A, B$ kẻ các tiếp tuyến $AC, AD, BE, BF$. $CD$ cắt $EF$ tại $G$. Lúc này $OG\perp AB$ tại $H$ thỏa $OG.OH=R^2$

Bổ đề này chứng minh thế nào anh? Nó đã xuất hiện ở những bài toán nào ? Sách nào ?



#13 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 06-12-2017 - 19:23

Bổ đề này chứng minh thế nào anh? Nó đã xuất hiện ở những bài toán nào ? Sách nào ?

 

Bổ đề này là một định phần để chứng minh định lý về cực và đối cực: Cho đường tròn $(O)$ và ba điểm $A, B, C$ phân biệt. Khi đó $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi đối cực của $A, B, C$ đồng quy hoặc đôi một song song.

 

Chứng minh. 

Gọi $M, N$ là trung điểm $CD, EF$, khi đó $OM.OA = R^2 = ON.OB$ nên $MNBA$ nội tiếp.

Từ đó $\angle GOM= 90^o-\angle OGM = 90^o-\angle ONM = 90^o-\angle OAB$ nên $OG\perp AB$ và dễ có $OG.OH=OM.OA=R^2$

 

Trở lại bài toán, ta dựng tương tự $BC$, tiếp tuyến tại $A$ của $(ABC)$ cắt $EF$ tại $W$ thì $W, K, L$ thẳng hàng do trục đẳng phương của đường tròn Euler và $(ABC)$. Kẻ tiếp tuyến khác $WA$ đến $(O)$ là $WV'$

Từ đó áp dụng bổ đề ra suy ra $BS, CT, AV'$ đồng quy tại điểm $G$ thỏa $OG=\dfrac{R^2}{d(O, KL)}$ nên ta có $V\equiv V'$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh