Chủ đề này có 3 trả lời

[limitno2019]

giải phương trình nghiệm nguyên $2^{x}-1=3^{y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi limitno2019: 02-12-2017 - 20:20
Gõ $\TeX$

[viet9a14124869]

giải phương trình nghiệm nguyên $2^{x}-1=3^{y}$

Mấu chốt làm mấy bài kiểu này thường là phát hiện dạng của số mũ :v

Ta thấy nếu x lẻ thì x có dạng 2k +1 $3^y=2^x-1=2^{2k+1}-1=4^{k}.2-1\equiv 1$ ( mod 3 )  $\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow x=1$

Nếu x chẵn . Đặt x=2k thì pt trở thành $3^y=2^x-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^k-1=3^a & \\ 2^k+1=3^b & \end{matrix}\right.$ 

Trong đó a,b nguyên dương , a+b=y và $3^b-3^a=2\Leftrightarrow 3^a(3^{b-a}-1)=2\rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^a=1 & \\ 3^{b-a}-1=2 & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$ 

Từ đó tính ra nghiệm $(x;y)\in \left \{ (1;0)(2;1) \right \}$

[limitno2019]

Mấu chốt làm mấy bài kiểu này thường là phát hiện dạng của số mũ :v

Ta thấy nếu x lẻ thì x có dạng 2k +1 $3^y=2^x-1=2^{2k+1}-1=4^{k}.2-1\equiv 1$ ( mod 3 )  $\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow x=1$

Nếu x chẵn . Đặt x=2k thì pt trở thành $3^y=2^x-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^k-1=3^a & \\ 2^k+1=3^b & \end{matrix}\right.$ 

Trong đó a,b nguyên dương , a+b=y và $3^b-3^a=2\Leftrightarrow 3^a(3^{b-a}-1)=2\rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^a=1 & \\ 3^{b-a}-1=2 & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$ 

Từ đó tính ra nghiệm $(x;y)\in \left \{ (1;0)(2;1) \right \}$

đây là cách làm của mình bạn xem có đúng ko nhé 

nếu x là số chẵn suy ra y là số lẻ xét x theo môdun 8 suy ra đc y

[viet9a14124869]

đây là cách làm của mình bạn xem có đúng ko nhé 

nếu x là số chẵn suy ra y là số lẻ xét x theo môdun 8 suy ra đc y

 

Được chứ cách nào cũng được mà .