Bài 1: (P2 Baltic 2011)
Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ và các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn điều kiện:
\[f(f(x)-y)=f(y)-f(f(x)).\]
Chứng minh rằng $f$ bị chặn.
#1
Đã gửi 03-12-2017 - 15:34
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 04-12-2017 - 23:00
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
Một bạn học sinh ở TPHCM gửi bài cho mình qua FB.
$$y \rightarrow f(x) \Rightarrow f(0) = 0$$
Thay $x=0$ thì $f(-y) = f(y)$.
Thay $y=0$ thì $f(f(x)) = 0$.
Từ đề ta có:
\[ f(f(x)-y) = f(y),\ \ \ (1.1)\]
Thế $y$ bởi $-y$ vào(1.1) ta có
\[ f(f(x)+y) = f(-y) = f(y) = f(f(x)-y) \]
Thay $x=1$ và đặt $c=f(1)$ ta có:
\[f(c+y) = f(c-y),\ \ \ (1.2)\]
Từ (1.2) thay $y$ bởi $y+c$ ta có:
\[ f(2c+y) = f(-y) = f(y) \]
Vậy $f$ tuần hoàn hay $f$ bị chặn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 04-12-2017 - 23:07
- perfectstrong, Tran Hoai Nghia và gosh thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022  pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh
|
|
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
