Chủ đề này có 4 trả lời

[namcpnh]

Bài 2:

 

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn:

 

\[f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) \ \ \text{và} \ \ \left(1+\frac{1}{x}\right)f(x)=f(x+1). \]

 

với mọi $x \in \mathbb{Q}^+.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-12-2017 - 20:44

[perfectstrong]

Lời giải vắn tắt:

Đặt $g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x}$. Từ giả thiết, ta suy ra $g:{Q^ + } \to {Q^ + }$ và

\[g\left( {\frac{1}{x}} \right)\frac{1}{{{x^2}}} = g\left( x \right), \left( {1'} \right);g\left( x \right) = g\left( {x + 1} \right),\left( {2'} \right)\]

Từ $(2')$, ta thấy $g$ tuần hoàn chu kỳ $1$.

Từ $(1)$, ta có \[\forall n \in {N^*}:g\left( {\frac{1}{n}} \right) = {n^2}g\left( n \right) = {n^2}g\left( 1 \right),\left( 3 \right)\]

 

Lấy bất kỳ một số hữu tỷ $\frac{p}{q} \in (0;1)$: \[\left( {1'} \right) \Rightarrow g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}g\left( {\frac{q}{p}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}g\left( {{a_1} + \frac{{{r_1}}}{p}} \right)\mathop  = \limits^{\left( {2'} \right)} \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}g\left( {\frac{{{r_1}}}{p}} \right)\]

Trong đó $q=a_1 p + r_1$. Dễ thấy $(p;r_1)=1$. Làm tương tự, ta nhận được

\[g\left( {\frac{{{r_1}}}{p}} \right) = \frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}g\left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_2}}}} \right) \Rightarrow g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}g\left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right)\]

Tiếp tục như vây: \[g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}...\frac{{r_{n - 1}^2}}{{r_n^2}}g\left( {\frac{{{r_{n + 1}}}}{{{r_n}}}} \right)\]

Chú ý rằng $p, r_1, r_2,..., r_{n+1}$ là các số nguyên dương và $p > {r_1} > {r_2} > ...$. Nên tồn tại chỉ số $k$ sao cho $r_k = 1$. Tức là \[g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}...\frac{{r_{k - 1}^2}}{{r_k^2}}g\left( {\frac{1}{{{r_k}}}} \right)\mathop  = \limits^{\left( 3 \right)} \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}...\frac{{r_{k - 1}^2}}{{r_k^2}}r_k^2g\left( 1 \right) = {q^2}g\left( 1 \right)\]

Cho nên \[\forall \frac{p}{q} \in {Q^ + }:g\left( {\frac{p}{q}} \right) = {q^2}g\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {\frac{p}{q}} \right) = g\left( {\frac{p}{q}} \right)\frac{p}{q} = pqf\left( 1 \right) = pqc\]

Với $c$ là một hằng số hữu tỷ dương.

 

Thử lại:...

[namcpnh]

Lời giải vắn tắt:

Đặt $g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x}$. Từ giả thiết, ta suy ra $g:{Q^ + } \to {Q^ + }$ và

\[g\left( {\frac{1}{x}} \right)\frac{1}{{{x^2}}} = g\left( x \right), \left( {1'} \right);g\left( x \right) = g\left( {x + 1} \right),\left( {2'} \right)\]

Từ $(2')$, ta thấy $g$ tuần hoàn chu kỳ $1$.

Từ $(1)$, ta có \[\forall n \in {N^*}:g\left( {\frac{1}{n}} \right) = {n^2}g\left( n \right) = {n^2}g\left( 1 \right),\left( 3 \right)\]

 

Lấy bất kỳ một số hữu tỷ $\frac{p}{q} \in (0;1)$: \[\left( {1'} \right) \Rightarrow g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}g\left( {\frac{q}{p}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}g\left( {{a_1} + \frac{{{r_1}}}{p}} \right)\mathop  = \limits^{\left( {2'} \right)} \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}g\left( {\frac{{{r_1}}}{p}} \right)\]

Trong đó $q=a_1 p + r_1$. Dễ thấy $(p;r_1)=1$. Làm tương tự, ta nhận được

\[g\left( {\frac{{{r_1}}}{p}} \right) = \frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}g\left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_2}}}} \right) \Rightarrow g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}g\left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right)\]

Tiếp tục như vây: \[g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}...\frac{{r_{n - 1}^2}}{{r_n^2}}g\left( {\frac{{{r_{n + 1}}}}{{{r_n}}}} \right)\]

Chú ý rằng $p, r_1, r_2,..., r_{n+1}$ là các số nguyên dương và $p > {r_1} > {r_2} > ...$. Nên tồn tại chỉ số $k$ sao cho $r_k = 1$. Tức là \[g\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}...\frac{{r_{k - 1}^2}}{{r_k^2}}g\left( {\frac{1}{{{r_k}}}} \right)\mathop  = \limits^{\left( 3 \right)} \frac{{{q^2}}}{{{p^2}}}\frac{{{p^2}}}{{r_1^2}}...\frac{{r_{k - 1}^2}}{{r_k^2}}r_k^2g\left( 1 \right) = {q^2}g\left( 1 \right)\]

Cho nên \[\forall \frac{p}{q} \in {Q^ + }:g\left( {\frac{p}{q}} \right) = {q^2}g\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {\frac{p}{q}} \right) = g\left( {\frac{p}{q}} \right)\frac{p}{q} = pqf\left( 1 \right) = pqc\]

Với $c$ là một hằng số hữu tỷ dương.

 

Thử lại:...

Hôm nay không hiểu sao máy bị lỗi, ko hiện được công thức mà toàn để dạng code, để mai tui đọc bài giải của ông nha.

 

Mà nhìn kết quả cuối của ông hình như khác tui ak. Mai tui sẽ post bài giải ở bài viết này.

[namcpnh]

Mới đọc xong bài của ông, bài của ông đúng rồi, hôm qua không hiện công thức nên thấy kì kì, nay đã thấy đúng

 

Một cách giải khác, theo pco trên AoPS, gõ vào đây, kèm theo chú thích cho anh em VMF tham khảo, rất hay.

 

Bài giải: 

 

Lấy $p,\ q \in \mathbb{N}^+$ sao cho $gcd(p,q) = 1$, khi đó đặt

\[ h\left( \dfrac{p}{q}\right) = \dfrac{f\left( \dfrac{p}{q} \right)}{pq}  \]

 

Khi đó, từ đề ta có thể tính được $h(x) = h\left( \dfrac{1}{x} \right)$ và $h(x)  =h(x+1)$.

 

Khi đó ta có $h(x+n)  = h(x),\ \forall n \in \mathbb{N},\ x \in \mathbb{Q}^+$.

 

Nếu phân tích $\frac{p}{q} = a_1 + \frac{1}{a_2+ \frac{1}{a_3+\frac{1}{\frac{\ddots }{a_n+\dfrac{1}{a_{n+1}}}}}}$ thì ta sẽ có được:

 

\[ h\left ( \frac{p}{q} \right ) = h(a_{n+1}) = h(1) \]

 

Ví dụ: $\frac{27}{8} =3+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$ khi đó

 

\[ f\left(\frac{27}{8}\right) =f\left(3+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}\right) = f\left(\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}\right) \]

\[= f\left(2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}\right) = f\left( \frac{1}{1+\frac{1}{2}} \right)\]

\[= f\left(1+\frac{1}{2}\right) = f\left( \frac{1}{2} \right) = f(2) = f(1)\]

 

 

Vậy ta có 

 

\[f\left ( \frac{p}{q} \right ) = pqh\left ( \frac{p}{q} \right ) = pqh(1) = f(1)pq,\ \forall p,\ q \in \mathbb{N}^*\]

 

PS: Hân cho tui quyền admin box Phương trình hàm để tui dễ dàng chỉnh sửa hay xóa bài nhận xét.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-12-2017 - 20:47

[perfectstrong]

Đúng là dùng liên phân số thật. Tui cũng tính dùng thử nhưng thấy khó khăn trong trình bày, đành phải dùng kiểu "quê mùa" kia Tuy nhiên, đặt $h\left( \dfrac{p}{q}\right) = \dfrac{f\left( \dfrac{p}{q} \right)}{pq}$ thì giống như là biết trước đáp án rồi viết ngược lại.

 

 

P/s: Tui không cho ông quyền quản trị một box "lẻ" được.