Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{5}-y^{5}-xy=32$
$x^{5}-y^{5}-xy=32$
#1
Đã gửi 03-12-2017 - 18:01
#2
Đã gửi 07-12-2017 - 21:58
TH1: xy $\geq$ 0 $\Rightarrow$ x > y$\Rightarrow x-y\geq 1$ (do x, y nguyên)
$\Leftrightarrow xy+32=x^{5}-y^{5}=(x-y)(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4})\geqslant x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\geq 5x^{2}y^{2} (cauchy)$$\geq 5xy$
$\Leftrightarrow 4xy\leq 32\Leftrightarrow xy\leq 8$
C/m x, y chẵn => $\Rightarrow x^{5}-y^{5} \vdots 32\Leftrightarrow xy\vdots 32$ $\Rightarrow xy= 0 \Rightarrow x=0, y=-2$ hoặc $x=2, y=0$
TH2: $xy<0$
xét $x>0, y<0$ $\Rightarrow x^{5}<32$ mà $x\vdots 2\Rightarrow x\epsilon \o $ (do x nguyên)
xét $x<0, y>0$ $\Rightarrow -x^{5}+y^{5}+xy+32=0$
mà $\Rightarrow -x^{5}+y^{5}+xy+32\geq x^{2}+y^{2}+xy=32>32>0$
$\Rightarrow x, y\epsilon \o $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IrisMorgenster: 07-12-2017 - 22:00
- melodias2002 và buingoctu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh