Đến nội dung

Hình ảnh

CMR:$A,E,F$ thẳng hàng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Olympusreacher

Olympusreacher

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Cho $(O)$, $A$ nằm ngoài $(O)$ sao cho $OA=2R$, kẻ tiếp tuyến $AB,AC$. Dây $BC \perp OA$ tại $H$. $HD \perp AB$ tại $D$. $AE \perp CD$ tại $E$. $F$ là trung điểm $OB$. CMR:$A,E,F$ thẳng hàng.


Weak people revenge, strong people forgive, intelligent people ignore.

                                                                                                                                                                   Albert Einstein


#2
Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cho $(O)$, $A$ nằm ngoài $(O)$ sao cho $OA=2R$, kẻ tiếp tuyến $AB,AC$. Dây $BC \perp OA$ tại $H$. $HD \perp AB$ tại $D$. $AE \perp CD$ tại $E$. $F$ là trung điểm $OB$. CMR:$A,E,F$ thẳng hàng.

Cách 1.

Gọi $I$ là giao của $AE$ và $HD$. Ta có $IA \perp CD; HA \perp HC \Rightarrow \angle IAH = \angle BCD$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà $\angle IHA = 90 - \angle IHB = \angle DBC \Rightarrow \angle DBC = \angle IHA \Rightarrow \Delta IHA \sim \Delta DCB (g.g) \Rightarrow \frac{IH}{AH} = \frac{DB}{DC} = \frac{DB}{2BH}$ mà $\Delta HDB \sim \Delta ADH (g.g) \Rightarrow \frac{DB}{2BH} = \frac{HD}{2HA} \Rightarrow \frac{IH}{HA} = \frac{DH}{2HA} \Rightarrow 2IH = HA \Rightarrow I$ là trung điểm của $HA$ mà $DH \parallel OB \Rightarrow AE$ đi qua $F \Rightarrow A,E,F$ thẳng hàng $(dpcm)$.

Hình gửi kèm

  • diendan(34).PNG


#3
Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cho $(O)$, $A$ nằm ngoài $(O)$ sao cho $OA=2R$, kẻ tiếp tuyến $AB,AC$. Dây $BC \perp OA$ tại $H$. $HD \perp AB$ tại $D$. $AE \perp CD$ tại $E$. $F$ là trung điểm $OB$. CMR:$A,E,F$ thẳng hàng.

Cách 2.

Gọi $I$ là giao của $AE$ và $HD$, $M$ là trung điểm của $BD$. Ta có $BM = MD; BH = HC \Rightarrow HM$ là đường trung bình $\Delta BDC \Rightarrow HM \parallel CD \Rightarrow HM \perp AI$ mà $MI \perp AM \Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta AHM \Rightarrow MI \perp AH$ mà $AH \perp BH \Rightarrow MI \parallel OB$ mà $MB = MD \Rightarrow MI$ là đường trung bình $\Delta HDB \Rightarrow I$ là trung điểm của $HD \Rightarrow AI$ đi qua $F \Rightarrow A,E,F$ thẳng hàng $\Rightarrow$ $(dpcm)$.

Hình gửi kèm

  • diendan(35).PNG





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh