Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyen kd]

Không dùng phép biến đổi lượng giác. Chứng minh: Nếu $\frac{{cosA.cosB}}{{cosC}} + \frac{{cosB.cosC}}{{cosA}} + \frac{{cosC.cosA}}{{cosB}} = \frac{3}{2}$ thì tam giác ABC đều

[nguyen kd]

${{cosA.cosB} \over {cosC}} + {{cosB.cosC} \over {cosA}} + {{cosC.cosA} \over {cosB}} = {3 \over 2}$

$ \Leftrightarrow {{({b^2} + {c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2} - {b^2})} \over {2{c^2}({a^2} + {b^2} - {c^2})}} + {{({c^2} + {a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} - {c^2})} \over {2{a^2}({b^2} + {c^2} - {a^2})}} + {{({a^2} + {b^2} - {c^2})({b^2} + {c^2} - {a^2})} \over {2{b^2}({c^2} + {a^2} - {b^2})}} = {3 \over 2}$

Đặt

$x = {1 \over {{b^2} + {c^2} - {a^2}}}$

$y = {1 \over {{c^2} + {a^2} - {b^2}}}$

$z = {1 \over {{a^2} + {b^2} - {c^2}}}$

ta có $x,y,z > 0$

Đẳng thức trên  $ \Leftrightarrow {z \over {(x + y)}} + {x \over {(y + z)}} + {y \over {(z + x)}} = {3 \over 2}$ $ \Leftrightarrow x = y = z$ (BĐT Nesbit)

$ \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen kd: 13-12-2017 - 22:25