Chủ đề này có 1 trả lời

[toannguyenebolala]

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})u_{n}=\frac{2}{2n+1},\forall n\in \mathbb{N}*$. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2017}u_{i}<\frac{2017}{2019}$

[anhquannbk]

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})u_{n}=\frac{2}{2n+1},\forall n\in \mathbb{N}*$. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2017}u_{i}<\frac{2017}{2019}$

Ta có: $ (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})u_{n}=\frac{2}{2n+1} $

Suy ra $ u_n= \dfrac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)+n} < \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}} = \dfrac{1}{\sqrt{n}} -\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} $

Do đó $ \sum_{i=1}^{2017}u_{i} < 1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}} <\dfrac{2017}{2019} $