Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x,y)$ liên tục trên $D \subset \mathbb{R}^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 08-12-2017 - 02:05

(Sáng tác)

Cho $D \subset \mathbb{R}^2$ là một miền liên tục (tức với mọi cặp điểm $A, B$ trong $D$, kể cả biên giới, thì luôn tồn tại một đường đi "liền nét" từ $A$ tới $B$ sao cho đường đi không cắt ra ngoài $D$.)

Định nghĩa $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ như sau: Vẽ một đường tròn có tâm $(x,y)$ và bán kính $f(x,y)$ sao cho đường tròn lớn nhất có thể có và tiếp xúc với viền của $D$.

Chứng minh rằng $f(x,y)$ liên tục.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{10T1 THPT Chuyên}$ $\boxed{\text{ LHP - Nam Định}}$
  • Sở thích:$\text{~Graph~}$

Đã gửi Hôm qua, 21:20

Gọi hai điểm có tọa độ $(x;y)$ và $(x_0;y_0)$ lần lượt là $A$ và $B$; đặt $\delta =AB$

Ta sẽ chứng minh $lim_{\delta\rightarrow 0}f(x;y)=f(x_0;y_0)(1)$

Với mọi $\epsilon>0$; ta chọn một số $a$ sao cho $a<min\left\{\epsilon;f(x_0;y_0)\right\}$

ta dựng được đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc với $D$ nhận lần lượt $A$ và $B$ làm tâm

 Chọn $A$ sao cho $AB\le a<f(x_0;y_0)\Rightarrow A\in (C_2)$; khi đó $(C_1)$ và $(C_2)$ phải có điểm chung (gọi là $C$)

Thật vậy nếu $(C_1)$ và $(C_2)$ không có điểm chung thì do tâm của $(C_1)$ nằm trong $(C_2)$ nên $(C_2)$ phải chứa $(C_1)$ 

từ đây suy ra tồn tại điểm thuộc $D$ mà nằm trong $(C_2)$ là điểm tiếp xúc giữa $(C_1)$ và $D$ (mâu thuẫn với $(C_2)$ tiếp xúc $D$)

Ta có $|f(x;y)-f(x_0;y_0)|=|AC-BC|\le AB=a<\epsilon$

hay với mọi số thực $\epsilon$; luôn tồn tại số thực $a$ sao cho với mọi $(x;y)$ thỏa $\delta\le a$ thì $|f(x;y)-f(x_0;y_0)|<\epsilon$ nên ta suy ra $(1)$ và từ đó ta có hàm f liên tục


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: Hôm qua, 21:35

SPAM




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh