Chủ đề này có 5 trả lời

[schoolmathematician]

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm min $F=ab+bc+2ca$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 09-12-2017 - 21:03
Gõ $\LaTeX$

[nmtuan2001]

$$1=a^2+b^2+c^2=\frac{1}{2}[(\sqrt{3}-1)^2a^2+b^2]+\frac{1}{2}[b^2+(sqrt{3}-1)^2c^2]+(\sqrt{3}-1)(b^2+c^2)$$

$$\geq a(\sqrt{3}-1)b+bc(\sqrt{3}-1)+2(\sqrt{3}-1)bc=(\sqrt{3}-1)(ab+bc+2ca)$$

Do đó $ab+bc+2ca \leq \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

Dấu $=$ xảy ra khi $(\sqrt{3}-1)a=(\sqrt{3}-1)c=b$. Thay vào điều kiện, ta được giá trị của $a,b,c$.

[dungxibo123]

$$1=a^2+b^2+c^2=\frac{1}{2}[(\sqrt{3}-1)^2a^2+b^2]+\frac{1}{2}[b^2+(sqrt{3}-1)^2c^2]+(\sqrt{3}-1)(b^2+c^2)$$

$$\geq a(\sqrt{3}-1)b+bc(\sqrt{3}-1)+2(\sqrt{3}-1)bc=(\sqrt{3}-1)(ab+bc+2ca)$$

Do đó $ab+bc+2ca \leq \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

Dấu $=$ xảy ra khi $(\sqrt{3}-1)a=(\sqrt{3}-1)c=b$. Thay vào điều kiện, ta được giá trị của $a,b,c$.

tìm min mà ? sao cuối cùng lại ra max vậy anh ơi ?

[DOTOANNANG]

https://diendantoanh...t3/#entry711883

 

Ta có: $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- k\left ( ab+ 2\,ac+ bc \right )= -\,\frac{1}{4}\,\frac{\left ( bk^{2}+ 2\,ck^{2}+ 2\,ck- 4\,b \right )^{2}}{\left ( k- 2 \right )\left ( k+ 2 \right )}+ \frac{2\,c^{2}\left ( k+ 1 \right )\left ( k^{2}+ 2\,k- 2 \right )}{\left ( k- 2 \right )\left ( k+ 2 \right )}\geqq 0$ với $k= \sqrt{3}- 1$

[toanhoc2017]

$1=a^2+b^2+c^2=\frac{1}{2}[(\sqrt{3}-1)^2a^2+b^2]+\frac{1}{2}[b^2+(sqrt{3}-1)^2c^2]+(\sqrt{3}-1)(b^2+c^2)$$
$$\geq a(\sqrt{3}-1)b+bc(\sqrt{3}-1)+2(\sqrt{3}-1)bc=(\sqrt{3}-1)(ab+bc+2ca)$$
Do đó $ab+bc+2ca \leq \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
Dấu $=$ xảy ra khi $(\sqrt{3}-1)a=(\sqrt{3}-1)c=b$. Thay vào điều kiện, ta được giá trị của $a,b,c$.

[toanhoc2017]

https://diendantoanh...t3/#entry711883

Ta có: $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- k\left ( ab+ 2\,ac+ bc \right )= -\,\frac{1}{4}\,\frac{\left ( bk^{2}+ 2\,ck^{2}+ 2\,ck- 4\,b \right )^{2}}{\left ( k- 2 \right )\left ( k+ 2 \right )}+ \frac{2\,c^{2}\left ( k+ 1 \right )\left ( k^{2}+ 2\,k- 2 \right )}{\left ( k- 2 \right )\left ( k+ 2 \right )}\geqq 0$


Giúp mình tý : Vì sao tìm ra k với $k= \sqrt{3}- 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 12-08-2018 - 08:15