Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$xy''=y'\ln \frac{y'}{x}$

chú nghiêm idol

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-12-2017 - 23:35

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$1,xy''=y'\ln \frac{y'}{x};\\ 2,y^3.y''=1;\\ 3,y'=2x+y+4;\\ 4,y'=\sqrt{y-x+1} ;\\ 5,y'=e^{x+y}-1;\\ 6,x^2.y''=y'^2$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 10-12-2017 - 17:03

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$2,y^3.y''=1$

$y^3.y''=1\Rightarrow y''=y^{-3}$ (Suy ra $y\neq 0,\forall x$)

Đặt $y'=z\Rightarrow y''=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}.\frac{dy}{dx}=z.\frac{dz}{dy}$

Vậy $z.\frac{dz}{dy}=y^{-3}$ (Từ đây suy ra $y'=z\neq 0,\forall x$)

$zdz=\frac{dy}{y^3}\Rightarrow \frac{z^2}{2}=-\frac{1}{2y^2}+C\Rightarrow z=\pm \sqrt{C-\frac{1}{y^2}}$

(Trong đó $C$ là hằng số dương sao cho $Cy^2> 1,\forall y$)

a) Trường hợp 1 : $z=\sqrt{C-\frac{1}{y^2}}\Rightarrow \frac{dy}{\sqrt{C-\frac{1}{y^2}}}=dx$

  + Nếu $y> 0\Rightarrow \frac{ydy}{\sqrt{Cy^2-1}}=dx\Rightarrow \frac{\sqrt{Cy^2-1}}{C}=x+D\Rightarrow Cy^2=(Cx+CD)^2+1$

     $\Rightarrow y^2=(\sqrt{C}\ x+\sqrt{C}\ D)^2+\frac{1}{C}$

     $\Rightarrow y_1=\sqrt{(Ex+F)^2+\frac{1}{E^2}}$

     với $E$ là hằng số dương thỏa mãn $E^2y^2> 1,\forall y$ ; $F$ là hằng số tùy ý.

  + Nếu $y<0$ : Làm tương tự, ta được $y_2=-\sqrt{(Ex+F)^2+\frac{1}{E^2}}$

b) Trường hợp 2 : $z=-\sqrt{C-\frac{1}{y^2}}$

    Làm tương tự, cũng tìm được 2 kết quả như trên.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 10-12-2017 - 22:15

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$3,y'=2x+y+4$

$y'=2x+y+4\Rightarrow y'-y=2x+4$

Trước hết, ta giải phương trình $y'-y=0$

$\frac{dy}{dx}=y\Rightarrow \frac{dy}{y}=dx\Rightarrow \ln\left | y \right |=x+\ln|C|\Rightarrow y=Ce^x$

Bây giờ xem $C$ là một hàm của $x$, ta giải phương trình $y'-y=2x+4$ (*)

Ta có : $y'=(Ce^x)'=e^x.\frac{dC}{dx}+Ce^x$ ; $y=Ce^x$. Thay vào (*) và rút gọn, ta được :

$e^x.\frac{dC}{dx}=2x+4\Rightarrow dC=(2x+4)e^{-x}dx$

$\Rightarrow C=\int (2x+4)e^{-x}dx=-2xe^{-x}-6e^{-x}+K$

$\Rightarrow y=-2x-6+Ke^x$ ($K$ là hằng số tùy ý)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 11-12-2017 - 09:44

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$5,y'=e^{x+y}-1$

Đặt $z=x+y\Rightarrow z'=y'+1=e^z$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=e^z\Rightarrow dx=e^{-z}dz\Rightarrow x=-e^{-z}+C\Rightarrow e^{-z}=C-x$

(trong đó $C$ là hằng số tùy ý nhưng phải thỏa mãn $C>x$, với mọi $x$ thuộc tập xác định, vì $e^{-z}> 0$)

$\Rightarrow z=-\ln(C-x)\Rightarrow y=-\ln(C-x)-x$ (với $C$ là hằng số thỏa mãn điều kiện nói trên)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 11-12-2017 - 10:34

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$6,x^2.y''=y'^2$

Đặt $z=y'$, ta có : $z'=\frac{1}{x^2}.z^2\Rightarrow z^{-2}.z'=\frac{1}{x^2}$

Đặt $u=z^{-1}$ suy ra $u'=-z^{-2}.z'$. Vậy $u'=-\frac{1}{x^2}$ hay $u=\frac{1}{x}+C$

$\Rightarrow z=\frac{1}{\frac{1}{x}+C}\Rightarrow y=\int \frac{dx}{\frac{1}{x}+C}=\int \frac{xdx}{Cx+1}$

+ Nếu chọn $C=0$ thì ta có $y_1=\int xdx=\frac{x^2}{2}+K$

+ Nếu $C\neq 0$ thì $y_2=\int \frac{xdx}{Cx+1}=\frac{1}{C}\left ( x-\frac{1}{C}\ln|Cx+1| \right )$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 12-12-2017 - 22:54

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$1,xy''=y'\ln \frac{y'}{x}$

Đặt $z=y'$ suy ra $z'=\frac{z}{x}\ln\frac{z}{x}$ (*)

Lại đặt $u=\ln\frac{z}{x}\Rightarrow z=xe^u\Rightarrow z'=e^u+xe^u.\frac{du}{dx}$

Thay vào (*) và rút gọn $\Rightarrow 1+x.\frac{du}{dx}=u\Rightarrow \frac{du}{u-1}=\frac{dx}{x}$

$\Rightarrow u=Cx+1\Rightarrow z=xe^{Cx+1}$

+ Nếu $C\neq 0\Rightarrow y_1=\int xe^{Cx+1}dx=\frac{1}{C^2}(Cx-1)e^{Cx+1}$

+ Nếu $C=0\Rightarrow y_2=\int exdx=\frac{ex^2}{2}+K$ ($K$ là hằng số tùy ý)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-12-2017 - 21:33

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$1,xy''=y'\ln \frac{y'}{x};\\ 2,y^3.y''=1;\\ 3,y'=2x+y+4;\\ 4,y'=\sqrt{y-x+1} (1);\\ 5,y'=e^{x+y}-1;\\ 6,x^2.y''=y'^2$

Câu 4: Nhận xét $y' \geq 0;$

Đặt $z=\sqrt{y-x+1} \Rightarrow z^2=y-x+1\Rightarrow 2z.z'=y'-1 (2)$

Thay $z'=\frac{dz}{dy}.z$ vào $(2)$ ta được :

$y'-1=2z.\frac{dz}{dy}.z\Leftrightarrow z-1=2z^2.\frac{dz}{dy} (3)$

Nếu $z=1\Leftrightarrow y'=1\Leftrightarrow y=x+c;$ Thay vào (1) ta được $c=0.$ Vậy $y=x$ là một nghiệm của phương trình.

Nếu z khác 1:$(3) \Leftrightarrow dy=\frac{2z^2}{z-1}dz \\ \Leftrightarrow \int dy=\int (2z+2+\frac{2}{z-1})dz \\ \Leftrightarrow y+c=z^2+2z+2.\ln\left | z-1 \right |\\ \Rightarrow y+c=(y')^2+2.y'+2.\ln(y'-1)$

Đặt t=y'-1 (t khác 0) (4), ta có :$y+c=(t+1)^2+2(t+1)+2\ln t \Leftrightarrow y+c'=t^2+4t+2 \ln t\Rightarrow y'=2t+4+\frac{2}{t};\\$

Thay vào (4), ta có:$t=2t+\frac{2}{t}+3\Leftrightarrow t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-1\\ t=-2 \end{bmatrix}$

Với $t=-1$ , khi đó y'=0 ->y=c.Thay vào (1) ta được $y=x-1$ ( vô lí)

Với $t=-2$ -> y'=-1 ( vô lí)

Trường hợp $y+c=(y')^2+2y'+2.\ln(1-y')$ Làm tương tự, ta thấy vô nghiệm.

Vậy $y=x$ là nghiệm duy nhất của bài toán.

----------------------------------------------

Chú nghiêm ơi, chú xem thử làm như trên đúng chưa ?? Nếu đúng cho cháu 10 likes nha...:D


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#8 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 18-12-2017 - 22:23

Câu 4: Nhận xét $y' \geq 0;$

Đặt $z=\sqrt{y-x+1} \Rightarrow z^2=y-x+1\Rightarrow 2z.z'=y'-1 (2)$

Thay $z'=\frac{dz}{dy}.z$ vào $(2)$ ta được :

$y'-1=2z.\frac{dz}{dy}.z\Leftrightarrow z-1=2z^2.\frac{dz}{dy} (3)$

Nếu $z=1\Leftrightarrow y'=1\Leftrightarrow y=x+c;$ Thay vào (1) ta được $c=0.$ Vậy $y=x$ là một nghiệm của phương trình.

Nếu z khác 1:$(3) \Leftrightarrow dy=\frac{2z^2}{z-1}dz \\ \Leftrightarrow \int dy=\int (2z+2+\frac{2}{z-1})dz \\ \Leftrightarrow y+c=z^2+2z+2.\ln\left | z-1 \right |\\ \Rightarrow y+c=(y')^2+2.y'+2.\ln(y'-1)$

Đặt t=y'-1 (t khác 0) (4), ta có :$y+c=(t+1)^2+2(t+1)+2\ln t \Leftrightarrow y+c'=t^2+4t+2 \ln t\Rightarrow y'=2t+4+\frac{2}{t};\\$

Thay vào (4), ta có:$t=2t+\frac{2}{t}+3\Leftrightarrow t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-1\\ t=-2 \end{bmatrix}$

Với $t=-1$ , khi đó y'=0 ->y=c.Thay vào (1) ta được $y=x-1$ ( vô lí)

Với $t=-2$ -> y'=-1 ( vô lí)

Trường hợp $y+c=(y')^2+2y'+2.\ln(1-y')$ Làm tương tự, ta thấy vô nghiệm.

Vậy $y=x$ là nghiệm duy nhất của bài toán.

----------------------------------------------

Chú nghiêm ơi, chú xem thử làm như trên đúng chưa ?? Nếu đúng cho cháu 10 likes nha... :D

Sao bạn chỉ xét các trường hợp $z=1$ và $z\neq 1$. Nếu vậy bạn cho rằng $z$ chỉ có thể là hàm hằng thôi sao ?

 

Mình làm thế này :

a) Nếu $y$ là hàm đa thức bậc $k$ ($k\in \mathbb{N}$) :

   + $k> 0$ : Khi đó $y'$ là hàm bậc k-1

        Mà $y'^2=y-x+1\Rightarrow 2(k-1)=k$ (2) hoặc $2(k-1)=k-1$ (3)

        Vì (2) không có nghiệm nguyên nên suy ra $k=1\Rightarrow y=ax+c$ ; $y'=a$

        $\Rightarrow a^2=(a-1)x+c+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=1\\c=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow y=x$

   + $k=0$ : Khi đó $y=c$ và $y'=0$

        $\Rightarrow 0=\sqrt{c+1-x}\Rightarrow x=-c-1=$ hằng số (vô lý, vì $x$ là biến số)

   Vậy nếu $y$ là hàm đa thức thì chỉ có một đáp án là $y=x$

b) Nếu $y$ không phải là hàm đa thức : (Trường hợp này chưa biết giải quyết ra sao ?)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh