Đến nội dung

Hình ảnh

$xy''=y'\ln \frac{y'}{x}$

- - - - - chú nghiêm idol

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$1,xy''=y'\ln \frac{y'}{x};\\ 2,y^3.y''=1;\\ 3,y'=2x+y+4;\\ 4,y'=\sqrt{y-x+1} ;\\ 5,y'=e^{x+y}-1;\\ 6,x^2.y''=y'^2$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$2,y^3.y''=1$

$y^3.y''=1\Rightarrow y''=y^{-3}$ (Suy ra $y\neq 0,\forall x$)

Đặt $y'=z\Rightarrow y''=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}.\frac{dy}{dx}=z.\frac{dz}{dy}$

Vậy $z.\frac{dz}{dy}=y^{-3}$ (Từ đây suy ra $y'=z\neq 0,\forall x$)

$zdz=\frac{dy}{y^3}\Rightarrow \frac{z^2}{2}=-\frac{1}{2y^2}+C\Rightarrow z=\pm \sqrt{C-\frac{1}{y^2}}$

(Trong đó $C$ là hằng số dương sao cho $Cy^2> 1,\forall y$)

a) Trường hợp 1 : $z=\sqrt{C-\frac{1}{y^2}}\Rightarrow \frac{dy}{\sqrt{C-\frac{1}{y^2}}}=dx$

  + Nếu $y> 0\Rightarrow \frac{ydy}{\sqrt{Cy^2-1}}=dx\Rightarrow \frac{\sqrt{Cy^2-1}}{C}=x+D\Rightarrow Cy^2=(Cx+CD)^2+1$

     $\Rightarrow y^2=(\sqrt{C}\ x+\sqrt{C}\ D)^2+\frac{1}{C}$

     $\Rightarrow y_1=\sqrt{(Ex+F)^2+\frac{1}{E^2}}$

     với $E$ là hằng số dương thỏa mãn $E^2y^2> 1,\forall y$ ; $F$ là hằng số tùy ý.

  + Nếu $y<0$ : Làm tương tự, ta được $y_2=-\sqrt{(Ex+F)^2+\frac{1}{E^2}}$

b) Trường hợp 2 : $z=-\sqrt{C-\frac{1}{y^2}}$

    Làm tương tự, cũng tìm được 2 kết quả như trên.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$3,y'=2x+y+4$

$y'=2x+y+4\Rightarrow y'-y=2x+4$

Trước hết, ta giải phương trình $y'-y=0$

$\frac{dy}{dx}=y\Rightarrow \frac{dy}{y}=dx\Rightarrow \ln\left | y \right |=x+\ln|C|\Rightarrow y=Ce^x$

Bây giờ xem $C$ là một hàm của $x$, ta giải phương trình $y'-y=2x+4$ (*)

Ta có : $y'=(Ce^x)'=e^x.\frac{dC}{dx}+Ce^x$ ; $y=Ce^x$. Thay vào (*) và rút gọn, ta được :

$e^x.\frac{dC}{dx}=2x+4\Rightarrow dC=(2x+4)e^{-x}dx$

$\Rightarrow C=\int (2x+4)e^{-x}dx=-2xe^{-x}-6e^{-x}+K$

$\Rightarrow y=-2x-6+Ke^x$ ($K$ là hằng số tùy ý)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$5,y'=e^{x+y}-1$

Đặt $z=x+y\Rightarrow z'=y'+1=e^z$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=e^z\Rightarrow dx=e^{-z}dz\Rightarrow x=-e^{-z}+C\Rightarrow e^{-z}=C-x$

(trong đó $C$ là hằng số tùy ý nhưng phải thỏa mãn $C>x$, với mọi $x$ thuộc tập xác định, vì $e^{-z}> 0$)

$\Rightarrow z=-\ln(C-x)\Rightarrow y=-\ln(C-x)-x$ (với $C$ là hằng số thỏa mãn điều kiện nói trên)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$6,x^2.y''=y'^2$

Đặt $z=y'$, ta có : $z'=\frac{1}{x^2}.z^2\Rightarrow z^{-2}.z'=\frac{1}{x^2}$

Đặt $u=z^{-1}$ suy ra $u'=-z^{-2}.z'$. Vậy $u'=-\frac{1}{x^2}$ hay $u=\frac{1}{x}+C$

$\Rightarrow z=\frac{1}{\frac{1}{x}+C}\Rightarrow y=\int \frac{dx}{\frac{1}{x}+C}=\int \frac{xdx}{Cx+1}$

+ Nếu chọn $C=0$ thì ta có $y_1=\int xdx=\frac{x^2}{2}+K$

+ Nếu $C\neq 0$ thì $y_2=\int \frac{xdx}{Cx+1}=\frac{1}{C}\left ( x-\frac{1}{C}\ln|Cx+1| \right )$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$1,xy''=y'\ln \frac{y'}{x}$

Đặt $z=y'$ suy ra $z'=\frac{z}{x}\ln\frac{z}{x}$ (*)

Lại đặt $u=\ln\frac{z}{x}\Rightarrow z=xe^u\Rightarrow z'=e^u+xe^u.\frac{du}{dx}$

Thay vào (*) và rút gọn $\Rightarrow 1+x.\frac{du}{dx}=u\Rightarrow \frac{du}{u-1}=\frac{dx}{x}$

$\Rightarrow u=Cx+1\Rightarrow z=xe^{Cx+1}$

+ Nếu $C\neq 0\Rightarrow y_1=\int xe^{Cx+1}dx=\frac{1}{C^2}(Cx-1)e^{Cx+1}$

+ Nếu $C=0\Rightarrow y_2=\int exdx=\frac{ex^2}{2}+K$ ($K$ là hằng số tùy ý)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình vi phân sau:

$1,xy''=y'\ln \frac{y'}{x};\\ 2,y^3.y''=1;\\ 3,y'=2x+y+4;\\ 4,y'=\sqrt{y-x+1} (1);\\ 5,y'=e^{x+y}-1;\\ 6,x^2.y''=y'^2$

Câu 4: Nhận xét $y' \geq 0;$

Đặt $z=\sqrt{y-x+1} \Rightarrow z^2=y-x+1\Rightarrow 2z.z'=y'-1 (2)$

Thay $z'=\frac{dz}{dy}.z$ vào $(2)$ ta được :

$y'-1=2z.\frac{dz}{dy}.z\Leftrightarrow z-1=2z^2.\frac{dz}{dy} (3)$

Nếu $z=1\Leftrightarrow y'=1\Leftrightarrow y=x+c;$ Thay vào (1) ta được $c=0.$ Vậy $y=x$ là một nghiệm của phương trình.

Nếu z khác 1:$(3) \Leftrightarrow dy=\frac{2z^2}{z-1}dz \\ \Leftrightarrow \int dy=\int (2z+2+\frac{2}{z-1})dz \\ \Leftrightarrow y+c=z^2+2z+2.\ln\left | z-1 \right |\\ \Rightarrow y+c=(y')^2+2.y'+2.\ln(y'-1)$

Đặt t=y'-1 (t khác 0) (4), ta có :$y+c=(t+1)^2+2(t+1)+2\ln t \Leftrightarrow y+c'=t^2+4t+2 \ln t\Rightarrow y'=2t+4+\frac{2}{t};\\$

Thay vào (4), ta có:$t=2t+\frac{2}{t}+3\Leftrightarrow t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-1\\ t=-2 \end{bmatrix}$

Với $t=-1$ , khi đó y'=0 ->y=c.Thay vào (1) ta được $y=x-1$ ( vô lí)

Với $t=-2$ -> y'=-1 ( vô lí)

Trường hợp $y+c=(y')^2+2y'+2.\ln(1-y')$ Làm tương tự, ta thấy vô nghiệm.

Vậy $y=x$ là nghiệm duy nhất của bài toán.

----------------------------------------------

Chú nghiêm ơi, chú xem thử làm như trên đúng chưa ?? Nếu đúng cho cháu 10 likes nha...:D


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#8
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Câu 4: Nhận xét $y' \geq 0;$

Đặt $z=\sqrt{y-x+1} \Rightarrow z^2=y-x+1\Rightarrow 2z.z'=y'-1 (2)$

Thay $z'=\frac{dz}{dy}.z$ vào $(2)$ ta được :

$y'-1=2z.\frac{dz}{dy}.z\Leftrightarrow z-1=2z^2.\frac{dz}{dy} (3)$

Nếu $z=1\Leftrightarrow y'=1\Leftrightarrow y=x+c;$ Thay vào (1) ta được $c=0.$ Vậy $y=x$ là một nghiệm của phương trình.

Nếu z khác 1:$(3) \Leftrightarrow dy=\frac{2z^2}{z-1}dz \\ \Leftrightarrow \int dy=\int (2z+2+\frac{2}{z-1})dz \\ \Leftrightarrow y+c=z^2+2z+2.\ln\left | z-1 \right |\\ \Rightarrow y+c=(y')^2+2.y'+2.\ln(y'-1)$

Đặt t=y'-1 (t khác 0) (4), ta có :$y+c=(t+1)^2+2(t+1)+2\ln t \Leftrightarrow y+c'=t^2+4t+2 \ln t\Rightarrow y'=2t+4+\frac{2}{t};\\$

Thay vào (4), ta có:$t=2t+\frac{2}{t}+3\Leftrightarrow t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-1\\ t=-2 \end{bmatrix}$

Với $t=-1$ , khi đó y'=0 ->y=c.Thay vào (1) ta được $y=x-1$ ( vô lí)

Với $t=-2$ -> y'=-1 ( vô lí)

Trường hợp $y+c=(y')^2+2y'+2.\ln(1-y')$ Làm tương tự, ta thấy vô nghiệm.

Vậy $y=x$ là nghiệm duy nhất của bài toán.

----------------------------------------------

Chú nghiêm ơi, chú xem thử làm như trên đúng chưa ?? Nếu đúng cho cháu 10 likes nha... :D

Sao bạn chỉ xét các trường hợp $z=1$ và $z\neq 1$. Nếu vậy bạn cho rằng $z$ chỉ có thể là hàm hằng thôi sao ?

 

Mình làm thế này :

a) Nếu $y$ là hàm đa thức bậc $k$ ($k\in \mathbb{N}$) :

   + $k> 0$ : Khi đó $y'$ là hàm bậc k-1

        Mà $y'^2=y-x+1\Rightarrow 2(k-1)=k$ (2) hoặc $2(k-1)=k-1$ (3)

        Vì (2) không có nghiệm nguyên nên suy ra $k=1\Rightarrow y=ax+c$ ; $y'=a$

        $\Rightarrow a^2=(a-1)x+c+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=1\\c=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow y=x$

   + $k=0$ : Khi đó $y=c$ và $y'=0$

        $\Rightarrow 0=\sqrt{c+1-x}\Rightarrow x=-c-1=$ hằng số (vô lý, vì $x$ là biến số)

   Vậy nếu $y$ là hàm đa thức thì chỉ có một đáp án là $y=x$

b) Nếu $y$ không phải là hàm đa thức : (Trường hợp này chưa biết giải quyết ra sao ?)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chú nghiêm idol

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh