Cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a,b,c)=1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$
CMR: a+b là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 11-12-2017 - 20:44
#1
Đã gửi 11-12-2017 - 20:44
Khoa Linh
-
- Thành viên
-
- 601 Bài viết
Thiếu úy
- Nguyen Dang Khoa 17112003 yêu thích
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
#2
Đã gửi 11-12-2017 - 21:06
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$$
$$c(a+b)=ab$$
$$c^2=(a-c)(b-c)$$
Đặt $(a-c,b-c)=d$. Do đó $c^2 \vdots d^2$ nên $c \vdots d$.
Vì $a-c, b-c \vdots d$, nên $a,b \vdots d$. Mà $(a,b,c)=1$ nên $d=1$.
Do $(a-c)(b-c)$ là scp và $(a-c,b-c)=1$ nên $a-c$ và $b-c$ là 2 scp.
Đặt $a-c=u^2, b-c=v^2$. Suy ra $c=uv$.
$$a+b=a-c+b-c+2c=u^2+v^2+2uv=(u+v)^2$$
Vậy $a+b$ là scp.
$$c(a+b)=ab$$
$$c^2=(a-c)(b-c)$$
Đặt $(a-c,b-c)=d$. Do đó $c^2 \vdots d^2$ nên $c \vdots d$.
Vì $a-c, b-c \vdots d$, nên $a,b \vdots d$. Mà $(a,b,c)=1$ nên $d=1$.
Do $(a-c)(b-c)$ là scp và $(a-c,b-c)=1$ nên $a-c$ và $b-c$ là 2 scp.
Đặt $a-c=u^2, b-c=v^2$. Suy ra $c=uv$.
$$a+b=a-c+b-c+2c=u^2+v^2+2uv=(u+v)^2$$
Vậy $a+b$ là scp.
- royal1534, NguyenHoaiTrung và Khoa Linh thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: scp, nguyên tố cùng nhau
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
tìm tất cả các số nguyên n để A=$(n-2010)(n-2011)(n-2012)$là số chính phươngBắt đầu bởi nguyentrongvanviet, 21-04-2021  số học, số chính phương và .
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$5^p+p^3$Bắt đầu bởi Khoa Linh, 25-10-2018 scp, snt
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$\left |m^2+1-n^2 \right |$ là một số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 12-08-2018 scp, số chính phương, chia hết
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$P=\frac{(m+n)^2}{4\left [m(m-n)^2+1 \right ]}$ là số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 28-05-2018 scp
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho a,b là 2 số nguyên thoả mãnBắt đầu bởi BurakkuYokuro11, 23-05-2018 số học, scp, burakkuyokuro11
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
