Cho hàm lõm, liên tục $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, có $f(0)=1$. Chứng minh rằng:
$ \int_{0}^{1} xf(x) dx \le \dfrac{2}{3}( \int_{0}^{1} f(x)dx)^2$
$ \int_{0}^{1} xf(x) dx \le \dfrac{2}{3}[ \int_{0}^{1} f(x)dx]^2$
Bắt đầu bởi anhquannbk, 12-12-2017 - 20:16
#2
Đã gửi 13-12-2017 - 18:44
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1668 Bài viết
Độc cô cầu bại
Cho hàm lõm, liên tục $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, có $f(0)=1$. Chứng minh rằng:
$ \int_{0}^{1} xf(x) dx \le \dfrac{2}{3}( \int_{0}^{1} f(x)dx)^2$
Cậu xem lại xem cho thiếu giá trị $f(1)$ không?
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#3
Đã gửi 13-12-2017 - 19:43
anhquannbk
-
- Thành viên
-
- 477 Bài viết
Sĩ quan
Cậu xem lại xem cho thiếu giá trị $f(1)$ không?
Đề cho có vậy thôi ông.
#4
Đã gửi 13-12-2017 - 20:46
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Cho hàm lõm, liên tục $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, có $f(0)=1$. Chứng minh rằng:
$ \int_{0}^{1} xf(x) dx \le \dfrac{2}{3}( \int_{0}^{1} f(x)dx)^2$
Lại là mấy bài thi Olympic Sinh Viên à 
Gợi ý: Tích phân từng phần vế bên tay trái và sử dụng BĐT hàm lõm để chứng minh
$$\int_{0}^{x}f(x)\ge \dfrac{xf(x)}{2}+\dfrac{x}{2}$$
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
