Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp (O)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thanhdat2003

thanhdat2003

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp (O).Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ 2 là E ( E # A ).

Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) lần lượt tại hai điểm là M và N.MC cắt BN tại F.Chứng minh rằng:

a) tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA;tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN

b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp

c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A


Hãy luôn vươn tới bầu trời cao,nếu bạn không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữu những vì tinh tú...


#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

hinhi.JPG

a) Do $\triangle {ABC}$ đều nên ta có: $\angle{MBA}=\angle{BAC}=\angle{ACN}=60^0$.

$\implies MB\parallel AC; NC=\parallel AB$.

Từ đó dẽ dàng ta suy ra được: $\angle{BMA}=\angle{CAN}\implies \triangle{MBA}\sim \triangle{ACN}(g-g)$.

$\implies \frac{MB}{AC}=\frac{BA}{CN}\iff \frac{MB}{BC}=\frac{BC}{CN}(1)$.

Lại có: $\angle{MBC}=\angle{BCN}=120^0(2)$.

Nên từ $(1)(2)\implies \triangle{MBC}\sim \triangle{BCN}(c-g-c)(*)$.

b) Từ $(*)\implies \angle{CBN}=\angle{BMC}$ hay $\angle{CBF}=\angle{CMB}$.

$\implies \triangle{CBF}\sim \triangle{CMB}(**)\implies \angle{CFB}=\angle{CBM}=120^0\implies \angle{BFM}=60^0(3)$.

Lại có: $\angle{MEB}=\angle{ACB}=60^0(4)$.

Nên từ $(3)(4)\implies \angle{MEB}=\angle{MFB}(=60^0)\implies MEFB$ nội tiếp.

c) Từ $(**)\implies \frac{BC}{CM}=\frac{CF}{BC}\implies BC^2=CM.CF$.

$\implies BC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $(BMEF)$.

Chứng minh hoàn toàn tương tự: Ta có: Tứ giác $NEFC$ cũng là tứ giác nội tiếp và BC cũng là tiếp tuyến của đường tròn nay.

Khi đó ta suy ra được: $BC$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(MEFB)$ và $(NEFC)$.

Gọi $I$ là giao của $EF$ với $BC$. Khi đó ta có: $IB^2=IC^2=IF*IE$.

$\implies IB=IC$.

Vậy $EF$ luôn đi qua điểm cố định.  






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh