Chủ đề này có 1 trả lời

[superbatman]

Câu 1: Cho x,y,z >0 và xyz=1. Chứng minh:
$\frac{{\sqrt {1 + x^3  + y^3 } }}{{xy}} + \frac{{\sqrt {1 + y^3  + z^3 } }}{{yz}} + \frac{{\sqrt {1 + z^3  + x^3 } }}{{zx}} \ge 3\sqrt 3 $
Câu 2: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc. Chứng minh:

$\frac{{a^4  + b^4 }}{{ab(a^3  + b^3 )}} + \frac{{b^4  + c^4 }}{{bc(b^3  + c^3 )}} + \frac{{c^4  + a^4 }}{{ca(c^3  + a^3 )}} \ge 1$
 

[nmtuan2001]

Câu 1: Sử dụng AM-GM, ta được $VT \geq \sum \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{3}\sum \frac{1}{\sqrt{xy}} \geq \sqrt{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}}.\frac{1}{\sqrt{yz}}.\frac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}$ vì $xyz=1$.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$.

 

Câu 2: Từ giả thiết ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$.

Ta sẽ chứng minh $\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

BĐT trên tương đương với $2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$, hay $a^4+b^4 \geq ab^3+a^3b$.

BĐT này đúng theo AM-GM: $a^4+b^4 \geq \frac{1}{2} (a^2+b^2)^2 \geq ab(a^2+b^2)=ab^3+a^3b$.

Tương tự, ta được $\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 14-12-2017 - 13:59