Bài 1: Cho $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng: $2(a^5 + b^5 + c^5) = 5abc(a^2 + b^2 + c^2) \ (*)$.
Mình có làm như sau:
$(a^2 + b^2 + c^2)(a^3 + b^3 + c^3) = a^5 + b^5 + c^5 + ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) = a^5 + b^5 + c^5 - 3abc$
$\Leftrightarrow 3abc(a^2 + b^2 + c^2) = a^5 + b^5 + c^5 - 3abc$
$\Leftrightarrow 3abc(a^2 + b^2 + c^2 + 1) = a^5 + b^5 + c^5$.
Thay vào biểu thức cần chứng minh, ta được:
$(*) \Leftrightarrow 6abc(a^2 + b^2 + c^2 + 1) = 5abc(a^2 + b^2 + c^2) \Leftrightarrow abc(6a^2 + 6b^2 + 6c^2 + 6 - 5a^2 - 5b^2 - 5c^2) = 0 \Leftrightarrow abc(a^2 + b^2 + c^2 + 6) = 0 \Leftrightarrow abc = 0$
Vậy suy ra hai vế của đẳng thức cần chứng minh ở đầu bài là bằng 0 ?
Bài 2: Cho $a + b + c = 0$ và $a, b, c \neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{a^2 + b^2 - c^2} + \frac{bc}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{ca}{a^2 + c^2 - b^2} = -\frac{3}{2} \ (*)$
Mình có làm như sau:
Vì $a + b + c = 0$ nên $a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ac)$
Suy ra $a^2 + b^2 = -2(ab + bc + ac) - c^2$
Ta được:
$\frac{ab}{a^2 + b^2 - c^2} = \frac{ab}{-2(ab + bc + ac) - 2c^2} = \frac{ab}{-2(b + c)(a + c)}$
Tương tự:
$\frac{bc}{b^2 + c^2 - a^2} = \frac{bc}{-2(a + c)(a + b)}$
$\frac{ca}{a^2 + c^2 - b^2} = \frac{ca}{-2(a + b)(b + c)}$
$(*) \Leftrightarrow -\frac{1}{2}.\frac{ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c)}{(a + b)(b + c)(c + a)} = -\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) = 3(a + b)(b + c)(c + a)$
$\Leftrightarrow a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 = 3(2abc + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2)$
Rõ ràng 2 về của đẳng thức trên khác nhau mà nhỉ?
Bài 3: Cho $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$ với $a, b, c \neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2017}} + \frac{1}{b^{2017}} + \frac{1}{c^{2017}} = \frac{1}{a^{2017} + b^{2017} + c^{2017}}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 14-12-2017 - 16:58
