Chủ đề này có 2 trả lời

[dangqxdang]

$P=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

[anhquannbk]

$P=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

https://julielltv.wo...phap-s-s-s-o-s/

[nmtuan2001]

$P=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

 

https://julielltv.wo...phap-s-s-s-o-s/

 

Bài này không cần SOS đâu 

Ta có $\frac{(a+b+c)^3}{abc}=\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$

$=\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{3abc}$

$\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+2+24=26+\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}$.

Suy ra $P \geq 26+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}$.

 

Ta sẽ chứng minh $\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$.

Thật vậy, BĐT trên tương đương với $\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}-1 \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1$, hay

$$\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3abc} \geq \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}$$

Vì $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế BĐT cho $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$:

$$\frac{a+b+c}{3abc} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$$

$$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 3abc$$

BĐT trên hiển nhiên đúng vì $(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>0$.

 

Sử dụng kết quả trên, ta được: $P \geq 26+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 26+2\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}=28$.

Vậy min $P=28$ khi $a=b=c$.