Chủ đề này có 7 trả lời

[Quoc0712]

Cho A,B $\in M_{2013}$. thỏa AB+2012A+2013B=0. Chứng minh rằng: r(A)+r(B) $\not\equiv $ 2013

[anhquannbk]

Cho A,B $\in M_{2013}$. thỏa AB+2012A+2013B=0. Chứng minh rằng: r(A)+r(B) $\not\equiv $ 2013

Ta có $AB+2012A+2013B$. Từ đây suy ra $(-A-2013I_{2013})(B+2012I_{2013}) =2012.2013I_{2013}$

với $I_{2013}$ là ma trận đơn vị cấp $2013$.

Do đó $-A-2013-I_{2013}$ và $B+2012I_{2013}$ khả nghịch và là nghịch đảo của nhau.

Mặt khác $2012A=-AB-2013B=(-A-2013I_{2013})B$ suy ra $rank(A)=rank(B)$

Mà theo bất đẳng thức về hạng của $Sylvester$ ta có:

$rank(B)+rank(B)-n \le rank(AB) \le min(rank(A), rank(B)) $

và $A, B \in M_{2013}$ nên $rank(A)+rank(B)-2013 \le rank(B)$

Do đó $rank(B) +rank(B) \ne 2013$

[Quoc0712]

Ta có $AB+2012A+2013B$. Từ đây suy ra $(-A-2013I_{2013})(B+2012I_{2013}) =2012.2013I_{2013}$

với $I_{2013}$ là ma trận đơn vị cấp $2013$.

Do đó $-A-2013-I_{2013}$ và $B+2012I_{2013}$ khả nghịch và là nghịch đảo của nhau.

Mặt khác $2012A=-AB-2013B=(-A-2013I_{2013})B$ suy ra $rank(A)=rank(B)$

Mà theo bất đẳng thức về hạng của $Sylvester$ ta có:

$rank(B)+rank(B)-n \le rank(AB) \le min(rank(A), rank(B)) $

và $A, B \in M_{2013}$ nên $rank(A)+rank(B)-2013 \le rank(B)$

Do đó $rank(B) +rank(B) \ne 2013$

Tại sao lại suy ra được rank(A)=rank(B) vậy bạn.

[anhquannbk]

Tại sao lại suy ra được rank(A)=rank(B) vậy bạn.

Nếu $X$ là một ma trận vuông không suy biến thì $rank(XY)=rank(Y)$

[Quoc0712]

Nếu $X$ là một ma trận vuông không suy biến thì $rank(XY)=rank(Y)$

Công thức bạn ghi phải là dấu <= chứ.

[anhquannbk]

Công thức bạn ghi phải là dấu <= chứ.

$X$ là ma trận vuông không suy biến mà bạn.

[Quoc0712]

$X$ là ma trận vuông không suy biến mà bạn.

Điều kiện là X và Y là ma trận vuông không suy biến chứ?

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc0712: 18-12-2017 - 18:32

[An Infinitesimal]

Điều kiện là X và Y là ma trận vuông không suy biến chứ?

 

Nhây thật đấy! 

Em chịu đọc mệnh đề của anhquannbk mà cứ "nhây" với mệnh đề của Quoc0712.