Chủ đề này có 7 trả lời

[Chika Mayona]

Phương trình $9^{|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{8}}.\log_2(x^2-x+2)-3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2|x-\frac{1}{2}|+\frac{7}{4} \right )=0$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

[chanhquocnghiem]

Phương trình $9^{|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{8}}.\log_2(x^2-x+2)-3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2|x-\frac{1}{2}|+\frac{7}{4} \right )=0$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Phương trình đã cho tương đương với :

$3^{2|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{4}}.\log_2(x^2-x+2)-3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )=0$

$\Leftrightarrow 3^{2t+\frac{1}{4}}.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )-3^{\frac{1}{4}-t^2}.\log_2\left ( 2t+\frac{7}{4} \right )=0$ (*) (với $t=\left | x-\frac{1}{2} \right |\geqslant 0$)

Đặt vế trái của (*) là $f(t)$, ta có :

$f'(t)=3^{2t+\frac{1}{4}}.\ln 3.2.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )+3^{2t+\frac{1}{4}}.\frac{2t}{\left ( t^2+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}-\left [ 3^{\frac{1}{4}-t^2}.\ln 3.(-2t).\log_2\left ( 2t+\frac{7}{4} \right )+3^{\frac{1}{4}-t^2}.\frac{2}{\left ( 2t+\frac{7}{4} \right ).\ln 2} \right ]$

$=2\ln 3.3^{2t+\frac{1}{4}}.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )+\frac{3^{2t+\frac{1}{4}}.2t}{\left ( t^2+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}+2t.\ln 3.3^{\frac{1}{4}-t^2}.\log_2\left ( 2t+\frac{7}{4} \right )-\frac{2.3^{\frac{1}{4}-t^2}}{\left ( 2t+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}$

$\geqslant 2\ln 3.3^{2t+\frac{1}{4}}.\log_2\left ( t^2+\frac{7}{4} \right )-\frac{2.3^{\frac{1}{4}-t^2}}{\left ( 2t+\frac{7}{4} \right ).\ln 2}$

(vì $t\geqslant 0$ nên 2 số hạng giữa không âm)

$\geqslant 2\ln 3.3^{\frac{1}{4}}.\log_2\left ( \frac{7}{4} \right )-\frac{2.3^{\frac{1}{4}}}{\frac{7}{4}.\ln 2}=\frac{2\ln 3.3^{\frac{1}{4}}.\ln\left ( \frac{7}{4} \right )}{\ln 2}-\frac{8.3^{\frac{1}{4}}}{7\ln 2}> 0,\forall t\geqslant 0$

Vậy hàm $f(t)$ đồng biến trên $[0;+\infty)$

Dễ thấy $f(0)=0$ $\Rightarrow$ (*) có nghiệm duy nhất là $t=0$

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$ (đáp án $A$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-12-2017 - 12:46

[Chika Mayona]

Phương trình đã cho tương đương với :

$3^{2|x-\frac{1}{2}|+\frac{1}{4}}.\log_2(x^2-x+2)=3^{-x^2+x}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )$

$\Leftrightarrow (x^2-x+2)^{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}}}=\left ( 2\left | x-\frac{1}{4} \right |+\frac{7}{4} \right )^{3^{x-x^2}}$ (*)

Xét $3$ trường hợp :

a) $x^2-x+2> 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}> 1$

    Khi đó $2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}\geqslant -2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}> x^2-x$

    $\Rightarrow (x^2-x+2)^{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}}}> \left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )^{3^{x-x^2}}$

    $\Rightarrow$ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}> x^2-x+2> 1$

    Khi đó $x-x^2> 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}\geqslant -2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}$

    $\Rightarrow \left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4} \right )^{3^{x-x^2}}> (x^2-x+2)^{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}}}$

    $\Rightarrow$ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $x^2-x+2=2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}> 1$

    Khi đó (*) tương đương với :

    $\left\{\begin{matrix}x^2-x+2=2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{7}{4}\\2\left | x-\frac{1}{2} \right |+\frac{1}{4}=x-x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-x=2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}\\\left | x-\frac{1}{2} \right |=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

 

Chọn đáp án $A$.

Em cảm ơn ạ. Nhân tiện anh cho em hỏi có cách nào bấm máy những bài này hoặc mẹo nhìn nhanh những bài như thế này ko ạ? 

[chanhquocnghiem]

Em cảm ơn ạ. Nhân tiện anh cho em hỏi có cách nào bấm máy những bài này hoặc mẹo nhìn nhanh những bài như thế này ko ạ? 

Anh không có bấm máy đâu nhé. Anh chỉ dựa vào sự gần giống của các biểu thức ở 2 vế và áp dụng tính chất :

Nếu $a> 1$ thì $a^\alpha > a^\beta$ khi và chỉ khi $\alpha > \beta$

[Chika Mayona]

Anh không có bấm máy đâu nhé. Anh chỉ dựa vào sự gần giống của các biểu thức ở 2 vế và áp dụng tính chất :

Nếu $a> 1$ thì $a^\alpha > a^\beta$ khi và chỉ khi $\alpha > \beta$

Dạ vâng ạ. Nhưng em vẫn thắc mắc tại sao phải xét đến 3 trường hợp ạ? Ba trường hợp đó khác nhau như thế nào ạ?? Với tại sao hai trường hợp đầu lại vô nghiệm được ạ? Em nhìn mãi ko ra @@

 

Với cái bài này thằng bạn em bảo là dùng phương pháp đánh giá bằng hàm đặc trưng. Nhưng biến đổi xong, đặt ra được hàm... em ko biết phải làm như thế nào nữa để suy ra đáp án @@ Mà em ngại hỏi nó quá ._.

 

$\frac{\log_2(x^2-x+2)}{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}}=\frac{\log_2 \left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right | +\frac{7}{4} \right )}{3^{x^2-x}}$

$\Leftrightarrow 3^{x^2-x}.\log_2(x^2-x+2)=3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}+2 \right )$

Xét hàm: $f(t)=3^t.\log_2(t+2)$ với $t\geq -\frac{1}{4}$

[chanhquocnghiem]

Dạ vâng ạ. Nhưng em vẫn thắc mắc tại sao phải xét đến 3 trường hợp ạ? Ba trường hợp đó khác nhau như thế nào ạ?? Với tại sao hai trường hợp đầu lại vô nghiệm được ạ? Em nhìn mãi ko ra @@

 

Với cái bài này thằng bạn em bảo là dùng phương pháp đánh giá bằng hàm đặc trưng. Nhưng biến đổi xong, đặt ra được hàm... em ko biết phải làm như thế nào nữa để suy ra đáp án @@ Mà em ngại hỏi nó quá ._.

 

$\frac{\log_2(x^2-x+2)}{3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}}=\frac{\log_2 \left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right | +\frac{7}{4} \right )}{3^{x^2-x}}$

$\Leftrightarrow 3^{x^2-x}.\log_2(x^2-x+2)=3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}+2 \right )$

Xét hàm: $f(t)=3^t.\log_2(t+2)$ với $t\geq -\frac{1}{4}$

Biến đổi đúng thì sẽ được thế này :

$3^{x^2-x}.\log_2(x^2-x+2)=3^{-2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}+2 \right )$

(có thêm dấu trừ trên số mũ ở vế phải)

Đến đây làm gì có hàm đặc trưng ?

[Chika Mayona]

Biến đổi đúng thì sẽ được thế này :

$3^{x^2-x}.\log_2(x^2-x+2)=3^{-2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}+2 \right )$

(có thêm dấu trừ trên số mũ ở vế phải)

Đến đây làm gì có hàm đặc trưng ?

Ko được ạ @@

Tại em nghĩ là $f(t)=3^t. \log_2(t+2)$

Do đó rút là: $f(x^2-x)=f\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4} \right )$

P/s: Em nhớ là có một lần em xem tài liệu thì thế này là hàm đặc trưng mà. Một bên t=x^2 -x và một bên $t=\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4} \right )$ @@

[chanhquocnghiem]

Ko được ạ @@

Tại em nghĩ là $f(t)=3^t. \log_2(t+2)$

Do đó rút là: $f(x^2-x)=f\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4} \right )$

P/s: Em nhớ là có một lần em xem tài liệu thì thế này là hàm đặc trưng mà. Một bên t=x^2 -x và một bên $t=\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4} \right )$ @@

Biến đổi đúng thì sẽ được thế này :

$3^{x^2-x}.\log_2(x^2-x+2)=3^{-2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}+2 \right )$ (*)

(có thêm dấu trừ trên số mũ ở vế phải)

Nếu chọn $f(t)=3^t.\log_2(t+2)$ thì $f\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4} \right )=3^{2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}}.\log_2\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4}+2 \right )$ (không có dấu trừ trước số $2$ trên số mũ ở vế phải, không giống vế phải phương trình (*) ở trên)

Như vậy chưa thể kết luận $f(x^2-x)=f\left ( 2\left | x-\frac{1}{2} \right |-\frac{1}{4} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-12-2017 - 22:56