1 reply to this topic

[DOTOANNANG]

Cho hàm số $f(x)= a \sin (x+1001)+ \cos 1002x$, trong đó $a$ là số thực cho trước. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}.$ Chứng minh rằng $M^{2}+ m^{2}\geq 2.$

Edited by halloffame, 16-12-2017 - 14:42.

[DOTOANNANG]

Cách giải như sau:

Ta có:

$f\left ( 0 \right )= 1+ a\cos \alpha \leq M$

$f\left ( \pi \right )= 1- a\cos \alpha \leq M$

$\Rightarrow f\left ( 0 \right )+ f\left ( x \right )= 2\leq 2M \Rightarrow M^{2}\geq 1$

Mặt khác:

$f\left ( \frac{\pi }{2} \right )= -1- a\sin \alpha \geq m$

$f\left ( \frac{-\pi }{2} \right )= -1+ a\sin \alpha \geq m$

Suy ra:

$f\left ( \frac{\pi }{2} \right )+ f\left ( \frac{-\pi }{2} \right )= -2\geq 2m \Leftrightarrow m^{2}\geq 1$

Suy ra đpcm