Chủ đề này có 3 trả lời

[leminhansp]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le 1.$$

Đề thi học kì 1 Toán 9 - Quận Hoàng Mai - 2017

[nmtuan2001]

Ta sẽ chứng minh $\frac{5y^3-x^3}{xy+3y^2} \leq 2y-x$.

BĐT trên tương đương với $5y^3-x^3-(2y-x)(xy+3y^2) \leq 0$, hay $-(x-y)^2(x+y) \leq 0$, hiển nhiên đúng.

Tương tự, ta được $\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le (2y-x)+(2z-y)+(2x-z)=x+y+z=1.$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[YoLo]

Mấy dạng kiểu này khá khó nắm bắt

quan trọng nhất là tìm dc BĐT phụ , nếu tìm dc thì việc cm bđt đó và đoạn sau sẽ easy

[leminhansp]

Ta sẽ chứng minh $\frac{5y^3-x^3}{xy+3y^2} \leq 2y-x$.

BĐT trên tương đương với $5y^3-x^3-(2y-x)(xy+3y^2) \leq 0$, hay $-(x-y)^2(x+y) \leq 0$, hiển nhiên đúng.

Tương tự, ta được $\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le (2y-x)+(2z-y)+(2x-z)=x+y+z=1.$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

 

 Quá khó cho một bài trong đề thi Học kì 1 lớp 9