Đề bài: Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:
$1,\sum _{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}.(\frac{x}{2})^n;\\ 2,\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2n-1).\frac{\pi}{4}}{3^n};\\ 3,\sum_{n=1}^\infty (1+\frac{1}{n})^{-n^2};\\$
$4,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(x+2)^n.4^n}$
Bài 1 :
+ Đặt $t=\frac{x}{2}$
+ Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n+1}\ t^n$ (theo biến $t$)
Đặt $\rho=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{n+2}:\frac{n}{n+1} \right )=1$
$\Rightarrow$ Bán kính hội tụ là $r=\frac{1}{\rho }=1\Rightarrow$ Khoảng hội tụ là $(-1;1)$
Tại $t=1$, chuỗi có dạng $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{n}{n+1}+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)
Tại $t=-1$, chuỗi có dạng $-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+...+(-1)^n.\frac{n}{n+1}+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)
Vậy miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n+1}\ t^n$ là $(-1;1)$
+ Trở về biến $x$ :
$t=-1\Rightarrow x=-2$ ; $t=1\Rightarrow x=2$. Suy ra miền hội tụ của chuỗi đã cho là $(-2;2)$
Bài 4 :
+ Đặt $t=\frac{1}{4x+8}$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(x+2)^n.4^n}=\sum_{n=1}^{\infty}t^n$
+ Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty t^n$ (theo biến $t$)
Đặt $\rho=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$
$\Rightarrow$ Bán kính hội tụ là $r=\frac{1}{\rho }=1\Rightarrow$ Khoảng hội tụ là $(-1;1)$
Tại $t=1$, chuỗi có dạng $1+1+1+...+1+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)
Tại $t=-1$, chuỗi có dạng $-1+1-1+...+(-1)^n+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)
Vậy miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty t^n$ là $(-1;1)$
+ Trở về biến $x$ :
$\left | t \right |< 1\Leftrightarrow \left | 4x+8 \right |> 1\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty;-\frac{9}{4} \right )\cup \left ( -\frac{7}{4};+\infty \right )$
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là $\left ( -\infty;-\frac{9}{4} \right )\cup \left ( -\frac{7}{4};+\infty \right )$
Còn bài 2 và bài 3 không phải là chuỗi hàm thì làm gì có miền hội tụ.