Chủ đề này có 3 trả lời

[caybutbixanh]

Câu 1: Tìm miền hội tụ của các chuỗi  sau:

$1,\sum _{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}.(\frac{x}{2})^n;\\ $

$4,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(x+2)^n.4^n}$

Câu 2: Xét sự hội tụ của các chuỗi:

$2,\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2n-1).\frac{\pi}{4}}{3^n};\\ 3,\sum_{n=1}^\infty (1+\frac{1}{n})^{-n^2};\\$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 17-12-2017 - 20:56

[chanhquocnghiem]

Đề bài: Tìm miền hội tụ của các chuỗi  sau:

$1,\sum _{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}.(\frac{x}{2})^n;\\ 2,\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2n-1).\frac{\pi}{4}}{3^n};\\ 3,\sum_{n=1}^\infty (1+\frac{1}{n})^{-n^2};\\$

$4,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(x+2)^n.4^n}$

Bài 1 :

+ Đặt $t=\frac{x}{2}$

+ Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n+1}\ t^n$ (theo biến $t$)

   Đặt $\rho=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{n+2}:\frac{n}{n+1} \right )=1$

   $\Rightarrow$ Bán kính hội tụ là $r=\frac{1}{\rho }=1\Rightarrow$ Khoảng hội tụ là $(-1;1)$

   Tại $t=1$, chuỗi có dạng $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{n}{n+1}+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)

   Tại $t=-1$, chuỗi có dạng $-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+...+(-1)^n.\frac{n}{n+1}+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)

   Vậy miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n+1}\ t^n$ là $(-1;1)$

+ Trở về biến $x$ :

   $t=-1\Rightarrow x=-2$ ; $t=1\Rightarrow x=2$. Suy ra miền hội tụ của chuỗi đã cho là $(-2;2)$

 

Bài 4 :

+ Đặt $t=\frac{1}{4x+8}$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(x+2)^n.4^n}=\sum_{n=1}^{\infty}t^n$

+ Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty t^n$ (theo biến $t$)

   Đặt $\rho=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$

   $\Rightarrow$ Bán kính hội tụ là $r=\frac{1}{\rho }=1\Rightarrow$ Khoảng hội tụ là $(-1;1)$

   Tại $t=1$, chuỗi có dạng $1+1+1+...+1+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)

   Tại $t=-1$, chuỗi có dạng $-1+1-1+...+(-1)^n+...$ (là chuỗi phân kỳ vì $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$)

   Vậy miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^\infty t^n$ là $(-1;1)$

+ Trở về biến $x$ :

   $\left | t \right |< 1\Leftrightarrow \left | 4x+8 \right |> 1\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty;-\frac{9}{4} \right )\cup \left ( -\frac{7}{4};+\infty \right )$

   Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là $\left ( -\infty;-\frac{9}{4} \right )\cup \left ( -\frac{7}{4};+\infty \right )$

 

Còn bài 2 và bài 3 không phải là chuỗi hàm thì làm gì có miền hội tụ.

[caybutbixanh]

Còn bài 2 và bài 3 không phải là chuỗi hàm thì làm gì có miền hội tụ.

Xin lỗi chú, cháu đã sửa lại đề.......

[chanhquocnghiem]

 

Câu 2: Xét sự hội tụ của các chuỗi:

$2,\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2n-1).\frac{\pi}{4}}{3^n};\\ 3,\sum_{n=1}^\infty (1+\frac{1}{n})^{-n^2};\\$

2)

Ta có $\left | \frac{\cos(2n-1)\frac{\pi}{4}}{3^n} \right |< \frac{1}{3^n},\forall n$

Mà chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ hội tụ $\Rightarrow$ chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}\left | \frac{\cos(2n-1)\frac{\pi}{4}}{3^n} \right |$ hội tụ $\Rightarrow$ chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n-1)\frac{\pi}{4}}{3^n}$ hội tụ tuyệt đối

 

3)

Ta có $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\to\infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{-n}=e^{-1}< 1$ nên theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi số đã cho hội tụ.