Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc0712]

Cho A,B $\in$ M₃(R) giao hoán được thỏa det(A² + B²)=0. Chứng minh det(A+B)= 2det(A)+ 2det(B).

[An Infinitesimal]

Cho A,B $\in$ M₃(R) giao hoán được thỏa det(A² + B²)=0. Chứng minh det(A+B)= 2det(A)+ 2det(B).

Với $A, B\in M_{3}(\mathbb{R})$, $ \det(A+iB)=\overline{\det(A-iB)}.$

Suy ra $0=\det(A^2+B^2)= \det(A+iB)\det(A-iB)= \left|det(A+iB)\right|^2.$

Suy ra $\det(A+iB)=\det(A-iB)=0.$

 

Xét đa thức $p(x)=\det(A+xB).$ Đa thức này có bậc không quá $3$.

Đa thức $p$ nhận nghiệm $\pm i$ làm nghiệm. Do đó, $p(x)$ có dạng $p(x)=r(x)(x^2+1),$ với $r(x)=ax+ b\in \mathbb{R}[x]$ và $a, b$ có thể bằng $0.$

 

Suy ra $\det(A+B)=p(1)=2(a+b), \quad \det(A)=p(0)=b.$ Và $\det(B)= \lim_{x\to \infty} \frac{p(x)}{x^3}=a.$

 

Ta dễ dàng có được \[\det(A+B)=2a+2b=2\det(A)+2\det(B).\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 19-12-2017 - 21:10