Toán học và duy vật biện chứng ?
Chỉ là một bài viết rảnh tay của mình, nhưng mong nhận được góp ý, và còn nhiều thứ mình chưa bổ sung ở đây, ít nhất là tài liệu tham khảo. Sẽ bổ sung sau, cảm ơn m.n
I) Giới thiệu chung
“ Không có Toán học chúng ta không thể đi sâu vào Triết học. Không có Triết học chúng ta không thể đi sâu vào Toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất thứ thứ gì.” – Leibniz.
Toán học là một ngành ( không phải khoa học nhưng gần gũi ) nghiên cứu về: “ lượng “, “ cấu trúc”, “không gian”, “sư thay đổi” hay nói cách khác là “ biến thiên. Ngoài các hướng này người ta còn hướng đến một số đối tượng ví dụ logic và lý thuyết tập hợp, tính bất định, sự ứng dụng của Toán học. Các nhà Toán học tìm kiếm các mô thức, mô hình, và sử dụng chúng để tạo ra các giả thuyết mới. Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm bằng cách đưa ra các chứng minh. Sự phát triển của Toán học song hành cùng sự tiến hóa của não bộ con người, sự trừu tượng.
Một số lý thuyết nền tảng: logic, lý thuyết tập hợp, lý thuyết phạm trù. Các lý thuyết này đều có tính triết học sâu sắc.
II) Toán học và chủ nghĩa duy vật
Do đặc tính trừu tượng của Toán học, nhất là Toán học hiện đại về các đối tượng trừu tượng, các đối tượng của Toán học luôn gây nên sự chú ý của Triết học. Cũng từ đó hình thành các quan niệm khác nhau về bản chất tri thức của Toán học. Việc xem xét đối tượng Toán học trên lập trường duy vật biện chứng sẽ giúp chúng ta có cách nhìn đúng đắn “ phần nào “ về Toán học, vai trò của Toán học trong Triết học và các khoa học khác.
Toán học thực ra rất phù hợp với quan điểm của thuyết duy vật. Toán học tồn tại đều có trước và tồn tại khách quan, không phụ thuộc vào cảm giác con người. Tất cả các đối tượng Toán học đều đã tồn tại ở đó trước khi con người khám phá ra. Toán học như một cô gái, chúng ta chỉ có thể làm quen và khám phá, không thể nào hiểu hết được.
Ý thức của con người tuy có thể ảnh hưởng đến sự tồn tại và phát triển của tự nhiên, song sự tồn tại và phát triển của giới tự nhiên vẫn tuân theo các quy luật riêng của nó mà con người dù có muốn cũng không thể tự thay đổi được theo ý muốn chủ quan của mình. Nói riêng thì toán học cũng thuộc giới tự nhiên và của vũ trụ, con người chỉ có thể khám phá dần để hiểu được bản chất của Toán học, con người không thể tạo ra nhưng có thể nhận thức và cải tạo được.
III) Toán học và phép biện chứng
Ta nhắc lại rằng thuyết duy vật biện chứng coi một sự vật hay một hiện tượng luôn trong một trạng thái luôn phát triển và đặt, xem xét nó trong mối quan hệ với các sự vật hiện tượng khác. Tất cả các chứng minh Toán học đều là biện chứng. Khi chứng minh, đương nhiên các đối tượng được các nhà Toán học dựa trên sự ràng buộc giữa chúng và trong sự vận động không ngừng. Toán học và phép biện chứng không tách rời nhau và liên hệ chặt chẽ với nhau.
Toán học lấy các đối tượng tự nhiên sau đó trừu tượng hóa, sự vận động của giới tự nhiên và Toán học luôn luôn đi cùng nhau. Một câu hỏi đặt ra là: “ Liệu rằng các đối tượng Toán học vẫn ở đó, vẫn tồn tại, vẫn đợi chúng ta khám phá thì liệu Toán học có cứng ngắc, bất động, như quan điểm của thuyết siêu hình không?”. Đây là một câu hỏi hợp lý, và câu trả lời là không. Việc Toán học vẫn tồn tại độc lập với ý thức con người và để nhấn mạnh Toán học không thuộc về con người, con người tiếp cận biểu hiện và dần dần muốn nắm bắt bản chất, để tránh quan điểm sở hữu của một người cho rằng một phần Toán học nào đó thuộc về anh ta. Mỗi khi chúng ta khám phá ra tức là Toán học phát triển, Toán học đây là Toán học của con người, chúng ta đưa Toán học của chúng ta phát triển lên để đạt đến tiệm cận của Toán học tự nhiên, vốn đã tồn tại độc lập khách quan với ý thức con người. Vậy nói chung có thể kết luận Toán học của chúng ta vẫn phát triển hàng ngày, hàng giờ, các đối tượng phát triển theo cách chúng ta càng ngày càng hiểu rõ về chúng, bản thân đối tượng phát triển kéo theo công cụ tìm hiểu về chúng phải phát triển. Tất cả các sự phát triển đó là tất yếu nên chúng ta phải tránh quan điểm bảo thủ, phải ủng hộ cái mới, chấp nhận thay thế cái cũ vì điều này lịch sử đã ghi nhận ( VD : số vô tỷ, số ảo, …)
IV) Toán học và phép duy vật biện chứng
a) Vận động biến đổi và bất biến, tất yếu ?
Toán học tuy phát triển nhưng phát triển theo hướng như đã nói là chúng ta hiểu hơn về Toán học của chính chúng ta, để đạt đến chân lý của tự nhiên. Không thể phủ nhận rằng trong Toán học không có những điều bất biến. Bất biến để mà phát triển, bất biến ở đối tượng nhưng phát triển để hiểu hơn về đối tượng.
Ví dụ:
Engels đã chỉ ra rằng ( chống Đuy-rinh )
“ Toán học sơ cấp, tức là Toán học về các đại lượng không đổi, tự vận động, ít ra là về Toán học trong những giới hạn về logic hình thức, còn Toán học cao cấp là Toán học của những đại lượng biến đổi, mà phần quan trọng nhất là tính những đại lượng vô cùng bé, thì căn bản chỉ là áp dụng phép biện chứng vào các quan hệ Toán học mà thôi.”
Quan điểm này của Engels về cơ bản thì tôi không đồng ý, đúng là chúng ta trong toàn bộ các chứng minh luôn áp dụng phép biện chứng, nhưng cơ sở phân biệt này thì không đúng, ngày nay trong Toán học cao cấp có những đối tượng rất bất biến theo nghĩa ta đã biết hết thông tin về đối tượng này, tức là ít nhất nó bất biến theo nghĩa nào đó, việc còn lại là đặt nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác. Sự khác biệt cơ bản giữa Toán học sơ cấp và Toán học cao cấp là ở đối tượng nghiên cứu.
Ở thời kì xưa, khi mà Toán học chưa phát triển thì có hai ngành khoa học tương đối phát triển là cơ học và thiên văn học. Toán học thông qua hai khoa học này góp phần vào cuộc cách mạng của Cô péc ních, thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của một thế giới quan mới đòi hỏi phải có một nền Toán học mang những tư tưởng mới vào. Tuy nhiên thời kì này cơ học cổ điển của Newton vẫn chi phối một phần quá lớn đến việc xem xét các sự vật hiện tượng xung quanh. Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của Toán học và các khoa học tự nhiên. Do sự phát triển thực tiễn và nhận thức, Toán học của các đại lượng biến đổi tất yếu phải ra đời. Cũng như phép duy vật biện chứng và quan điểm siêu hình.
Engels cũng chỉ ra rằng:
“ Đại lượng biến đổi của Decartes đã đánh dấu một bước ngoặt trong Toán học, nhờ đó vận động và biện chứng đã đi vào Toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.”
Thật vậy, trong lập luận giải tích và các phép tính vi tích phân người ta đã sử dụng khái niệm liên tục, sự vô hạn, gián đoạn, … thể hiện rất rõ sự biến đổi. Hoặc trong đại số có định lý cơ bản của đại số, một người phải hiểu rõ sự liên tục của vật chất mới có thể chứng minh được, vậy sự vận động biến đổi là cần thiết ở mọi nơi. Có thể nói rằng tư tưởng vận động và liên tục của Toán học đã góp phần thay đổi về chất tư duy của khoa học nói chung. Các đối tượng phức tạp thì phải coi như giới hạn liên tục của các đối tượng bất biến, là sự vận động của các đối tượng này một cách không ngừng. Còn sau sự ra đời của thời kì các đại lượng biến đổi thì khoa học phát triển đến mức nào chắc ai trong chúng ta cũng rõ.
Một thành tựu khác của Toán học thời kì này là lý thuyết xác xuất – thống kê khẳng định có những đối tượng ngẫu nhiên, bác bỏ quan điểm mọi thứ là tất yếu. Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt chẽ với nhau, cho phép người ta mềm dẻo hơn trong tư duy. Sự tồn tại ngẫu nhiên bổ sung sự đẹp đẽ của bức tranh khoa học nói chung.
Như vậy ta có thể tạm đưa ra một kết luận: tất yếu, bất biến để mà phát triển và ngược lại. Và tôi phủ nhận tất cả các kết luận như:
i) Sự phân chia Toán học trên cơ sở thay đổi và bất biến
ii) Các đối tượng bất biến là cứng ngắc, không đáng quan tâm.
Vì như thế phủ định sạch trơn giá trị bản thân các đối tượng mang lại mà chỉ quan tâm đến sự tương tác của nó với các đối tượng khác.
Và đồng ý với các quan điểm:
iii) Toán học là một trong các nguồn gốc của tư duy biện chứng.
iv) Toán học hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan biện chứng.
v) Duy vật biện chứng ngược lại là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận đúng đắn của Toán học.
b) Cấu trúc và sự thống nhất
Trong giai đoạn hiện đại hơn, thành tựu nổi bật của Toán học là các cấu trúc. Cho phép chúng ta tiếp cận các đối tượng và rút ra các cái chung nhất của chúng. Nói theo ngôn ngữ Toán học là đẳng cấu, sau đó là lý thuyết phạm trù mà tôi sẽ trình bày trong phần dưới. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc, là một trong những cơ sở lý luận cho các khoa học có tính tổng hợp: điều khiển, logic Toán, Toán Lý, Toán kinh tế,… Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, Toán học hiện đại đóng vai trò quan trọng trong nền tảng của các khoa học khác. Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của Toán học thể hiện sự thống nhất của giới tự nhiên, vì bản thân Toán học cũng thống nhất, Toán học thể hiện và mô hình lại giới tự nhiên. Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của Toán học và khoa học thực tiễn, các lý thuyết Toán học ngày càng đi sâu vào sự thống nhất của giới vật chất. Các lý thuyết Toán có diễn đạt các đối tượng sự phân hủy, sự sinh sản, sự phát triển kinh tế, … Như vậy, tư tưởng cấu trúc của Toán học hiện đại đóng góp phần quan trọng và sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc. Đồng thời nó cũng là một cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất của giới vật chất.
Nhìn chung, lịch sử phát triển của Toán học chứng minh rằng sự phát triển của Toán học góp phần hình thành luận chứng, củng cố hoàn thiện thế giới quan khoa học mà nền tảng của nó là Triết học duy vật nói chung, Triết học duy vật biện chứng nói riêng. Mối quan hệ giữa Toán học và duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con người.
c) Đi sâu hơn vào mối quan hệ Toán học và phép duy vật biện chứng
Jean P.Serre: “ As Grothendieck taught us, objects aren’t of great important, it is the relation between them.”
Chú thích : xem ***
Cần nhắc lại rằng phép duy vật biện chứng dựa trên cơ sở là chủ nghĩa duy vật và phép biện chứng. Các hệ thống Toán học phát triển vì nhu cầu lý thuyết hoặc thực tế làm ta phải mở rộng ( chứ không bác bỏ ) các đối tượng cũ và làm việc trên các đối tượng mới sau đó xem xét mối quan hệ giữa các đối tượng với nhau để dần dần hiểu bản chất của giới tự nhiên, cụ thể hơn là Toán học “ của chúng ta “.
Để lật lại về Duy vật biện chứng ta xem xét các hệ thống của nó:
+ Đặt đối tượng trong trạng thái luôn phát triển.
+ Mối liên hệ.
+ Hai nguyên lí về mối liên hệ phổ biến và sự phát triển
+ Ba quy luật lượng – chất, đấu tranh và thống nhất các mặt đối lập, phủ định của phủ định
+ Sáu cặp phạm trù:
- Cái chung và cái riêng
- Bản chất và hiện tượng
- Nội dung và hình thức
- Nguyên nhân và kết quả
- Khả năng và hiện thực
- Tất nhiên và ngẫu nhiên [ đã nói đến ]
Muốn thực sự hiểu được sự vật cần phải nhìn bao quát và nghiên cứu tất cả các mặt, các mối liên hệ trực tiếp và gián tiếp dựa vào ba điều: phong phú, khách quan, đa dạng và phong phú.
Trong bài phân tích tôi sẽ tập chung chủ yếu dựa vào sườn của các cặp phạm trù và xem xét sự thống nhất, đặt trong mối liên hệ tương tác và phát triển của sự vật nhưng vẫn song song cùng đó là các nguyên lí và quy luật, người đọc cần tự nhận thức rõ ra điều này vì sẽ không thể phân tích chi tiết và phải theo mạch và ghép các yếu tố vào phân tích. Cũng có những điều khó phân tích và không biểu hiện nên tôi sẽ không phân tích trong bài viết của mình. Cần phải nói rằng cái tất nhiên và ngẫu nhiên đã nhắc đến ở mục trên, khả năng và hiện thực cũng tương tự vì dù rằng Toán học thật chặt chẽ và hiện thực nhưng Toán học và Vật lý nói chung luôn tồn tại cái thiết yếu gọi là khả năng.
Một lý thuyết về cấu trúc sâu sắc và mối liên hệ trong Toán học là lý thuyết phạm trù – Category theory cho ta một cái nhìn tổng quan cấu trúc về hầu hết các ngành Toán học. Hiểu một cách nôm na là xem xét các phạm trù cũng như kiểu phạm trù Triết học vậy. Các đối tượng cơ bản của nó là các đối tượng – vật, các phạm trù, các hàm tử, các biến đổi tự nhiên, sự phổ dụng ( hay có thể hiểu là mối liên hệ tương tác ).
Một phạm trù có hiểu là một tập hợp các đối tượng – vật và biểu thị các quan hệ giữa chúng.
VẬT -> QUAN HỆ <- VẬT
Giữa hai vật A và B có một tập hợp các quan hệ của A “ tác động “ vào B gọi là Hom(A,B). Một vật tự nó cũng tác động với nó và có ít nhất một tác động cho thấy sự tồn tại biểu hiện của A gọi là id_A. Điều này thể hiện phần nào mối liên hệ được đưa lên xem xét đầu tiên khi ta xem xét phạm trù. Ở đây thì phạm trù có thể coi là cái chung ( cũng như tập hợp và các phần tử của nó )và các quan hệ, các vật là riêng.
*** Relative point of view:
Trong Toán học có một tư tưởng mà có thể hiểu nôm na rằng trong một phạm trù có thể đồng nhất một vật với mối quan hệ của nó với các vật khác. Tôi nêu điều này để củng cố câu nói ở đầu mục. ***
Để có thể dần dần hiểu bản chất của một đối tượng – vật ta phải đưa nó vào mối quan hệ với vật và đối tượng khác, xem xét sự biểu hiện, cụ thể là sự phổ dụng của vật trong Toán học, một bài toán phổ dụng là một bài toán xem xét để tìm ra một vật thỏa mãn một số mối quan hệ rằng buộc nào đó, mà có thể coi là tương đối phức tạp, với các vật khác trong cùng một phạm trù. Có thể có nhiều vật như vậy nhưng chúng được xem là như nhau, tương đương, hay nói Toán học hơn là sai khác một đẳng cấu trong phạm trù đó, điều này thể hiện rõ sự biểu hiện và tương tác hay mối quan hệ của các đối tượng mới là trên hết, vì cứ tương tác giống nhau với tất cả các đối tượng khác thì chỉ tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu. Ví dụ bây giờ có hai vật màu sắc khác nhau nhưng mang cùng một công dụng, cụ thể hơn như hai chiếc váy cùng kiểu mà khác màu thì về cơ bản nếu ta không quá quan tâm màu sắc thì chúng là như nhau trong phạm trù đã loại bỏ yếu tố “ màu sắc “.
Khi ta đã tìm hiểu được kha khá sự biểu hiện để dần dần tiến đến bản chất của đối tượng – vật thì nó sẽ dẫn đến thay đổi chất, cũng có thể chất mới không sinh ra hoặc cũng có thể đối tượng sẽ nâng lên tầm cao mới, được đưa ra nghiên cứu độc lập. Đây là thời điểm khó khăn, ta cần tìm ra khuynh hướng phát triển tiếp theo của đối tượng – vật. Khi vượt qua thì đạt đến sự tổng quát hóa, trừu tượng cao hơn, phù hợp với quan điểm mở rộng đối tượng nghiên cứu liên tục của Toán học và mọi khoa học. Cần phải nói thêm rằng trong Toán học nói chung không thể dựa vào hình thức nói chung để nói về nội dung. Ví dụ một đối tượng trong Toán học gọi là nhóm có thể có rất nhiều biểu diễn khác nhau, lên đến vô hạn về số lượng nhưng thực rất lại là tầm thường ( trivial ) hoặc bản thân nó thực sự lại là một đối tượng nào đó vô cùng đơn mà ( nhưng trông phức tạp ). Cũng như việc ta không thể đánh giá hoàn toàn một con người qua những gì anh ta nói hôm nay hay trong quá khứ, những gì anh ta mặc hôm qua và hôm nay. Bất cứ ai làm khoa học hoặc Toán học cần cẩn thận với điều này.
V) Kết luận
Nói chung duy vật biện chứng và Toán học tuy khách quan nhưng lại liên hệ chặt chẽ như đã phân tích. Biện chứng chia làm ba đoạn: chính đề, phản đề, hợp đề, điều này thể hiện rõ không chỉ trong Toán học mà còn trong mọi khoa học khác. Nhưng cũng không thể phủ nhận quan điểm về các đối tượng bất biến, cần phân biệt điều này với quan điểm siêu hình cứng ngắc.
